Zadanie nr 8925296
Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: ,
i
. Wyznacz współrzędne punktów
i
.
Rozwiązanie
Wiemy, że wierzchołkiem narysowanej paraboli jest punkt , więc ma on wzór postaci
![f(x) = a(x − 3 )2 + 5](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR1x.gif)
(postać kanoniczna). Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.
![3- 1- 2 = a⋅9 + 5 ⇒ a = − 9 = − 3.](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR4x.gif)
Zatem
![f(x ) = − 1(x − 3)2 + 5. 3](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR5x.gif)
To pozwala już wyznaczyć współrzędne punktów i
– rozwiązujemy równanie kwadratowe
![− 2 = f (x) = − 1(x − 3)2 + 5 / ⋅(− 3) 3 6 = (x − 3)2 − 15 21 = (x − 3)2.](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR8x.gif)
Stąd
![√ --- √ --- x − 3 = − 2 1 lub x− 3 = 21 √ --- √ --- x = 3 − 2 1 lub x = 3 + 21.](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR9x.gif)
i ,
.
Teraz zajmijmy się punktem . Najpierw napiszmy równanie prostej
– szukamy prostej w postaci
i podstawiamy współrzędne punktów
i
.
![{ 5 = 3a+ b 2 = 4a+ b](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR17x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy . Stąd
i prosta ta ma równanie
. Szukamy teraz jej punktu wspólnego
z prostą
– podstawiamy
.
![16 − 2 = − 3x + 1 4 ⇐ ⇒ 3x = 16 ⇐ ⇒ x = --. 3](https://img.zadania.info/zad/8925296/HzadR24x.gif)
Zatem .
Odpowiedź: ,
,