Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8925296

Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: A = (0,2) , B = (3,5) i C = (4,2) . Wyznacz współrzędne punktów D ,E i F .


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Wiemy, że wierzchołkiem narysowanej paraboli jest punkt B = (3,5 ) , więc ma on wzór postaci

f(x) = a(x − 3 )2 + 5

(postać kanoniczna). Współczynnik a wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A = (0,2 ) .

 3- 1- 2 = a⋅9 + 5 ⇒ a = − 9 = − 3.

Zatem

f(x ) = − 1(x − 3)2 + 5. 3

To pozwala już wyznaczyć współrzędne punktów D i F – rozwiązujemy równanie kwadratowe

− 2 = f (x) = − 1(x − 3)2 + 5 / ⋅(− 3) 3 6 = (x − 3)2 − 15 21 = (x − 3)2.

Stąd

 √ --- √ --- x − 3 = − 2 1 lub x− 3 = 21 √ --- √ --- x = 3 − 2 1 lub x = 3 + 21.

i  √ --- D = (3 − 21,− 2) ,  √ --- F = (3 + 21,− 2) .

Teraz zajmijmy się punktem E . Najpierw napiszmy równanie prostej BC – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i C .

{ 5 = 3a+ b 2 = 4a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy a = − 3 . Stąd b = 2− 4a = 14 i prosta ta ma równanie y = − 3x+ 14 . Szukamy teraz jej punktu wspólnego E z prostą y = − 2 – podstawiamy y = − 2 .

 16 − 2 = − 3x + 1 4 ⇐ ⇒ 3x = 16 ⇐ ⇒ x = --. 3

Zatem  ( ) 16 E = 3 ,− 2 .  
Odpowiedź:  √ --- D = (3 − 21 ,−2 ) ,  √ --- F = (3+ 21,− 2) ,  ( 16 ) E = 3 ,−2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!