Zadanie nr 1798017
Wielomian ma trzy pierwiastki:
, przy czym
i
. Wyznacz
i
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli pierwiastkami wielomianu są liczby
, to musi on mieć postać
![W (x) = m(x − x1)(x+ 2x1)(x − 4x1).](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR2x.gif)
Mamy w takim razie równość
![3 2 x + ax + bx+ 64 = m (x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1).](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR3x.gif)
Z prawej strony po wymnożeniu współczynnik przy będzie równy
, więc musi być
. Pozostaje więc równość
![x 3 + ax 2 + bx + 64 = (x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1).](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR7x.gif)
Wymnażamy teraz prawą stronę
![(x − x1)(x + 2x 1)(x− 4x1) = (x 2 + 2xx 1 − xx1 − 2x21)(x − 4x 1) = 2 2 3 2 2 2 2 3 = (x + xx 1 − 2x1)(x − 4x1) = x + x x1 − 2xx1 − 4x x 1 − 4xx 1 + 8x1 = = x 3 − 3x 2x − 6xx2 + 8x 3. 1 1 1](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![3 2 3 2 2 3 x + ax + bx + 64 = x − 3x x1 − 6xx1 + 8x 1.](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR9x.gif)
Porównując wyrazy wolne otrzymujemy . Wtedy porównując współczynniki przy
i
otrzymujemy
i
.
Sposób II
Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania
![3 2 x + ax + bx + 64 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR15x.gif)
Mają one postać
![( |{ −a = x1 + x2 + x3 = x 1 − 2x 1 + 4x 1 = 3x1 b = x1x 2 + x 2x 3 + x 3x1 = − 2x21 − 8x12+ 4x 21 = − 6x21 |( 3 − 64 = x1x 2x3 = − 8x1.](https://img.zadania.info/zad/1798017/HzadR16x.gif)
Z trzeciego równania mamy , wtedy z dwóch poprzednich równań
i
.
Odpowiedź: