Zadanie nr 1832123
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![3 x + (m − 1)x − m = 0](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadT1x.gif)
ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Dla otrzymanych wartości wyznacz te pierwiastki.
Rozwiązanie
Jeżeli równanie stopnia 3 ma mieć dwa pierwiastki rzeczywiste, to jeden z nich musi być podwójny.
Sposób I
Lewa strona równania musi mieć postać
![(x− a)2(x− b ) = (x2− 2ax + a 2)(x− b) = x3− (2a + b)x2 + (a2+ 2ab)x− a2b.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR0x.gif)
Otrzymujemy stąd układ równań
![(| 2a + b = 0 { m − 1 = a2 + 2ab |( m = a2b.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR1x.gif)
Z pierwszego równania mamy . Podstawiamy tę wartość do dwóch pozostałych równań.
![{ 2 2 2 m − 1 = a − 4a = − 3a m = − 2a3.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR3x.gif)
Zauważmy teraz, że jeżeli w drugim równaniu , to
. Ale wtedy z pierwszego równania
, co jest sprzeczne z tym, że
. Zatem
,
i
i możemy podzielić stronami drugie równanie przez pierwsze.
![--m--- 2- --3m----- m − 1 = 3 a ⇒ a = 2(m − 1) .](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR11x.gif)
Podstawiamy teraz to wyrażenie np. do drugiego równania.
![3 27 m 3 4 (m − 1)3 m = − 2a = − 2⋅ ---⋅--------3 / ⋅---------- 8 (m − 1) m 4 (m − 1)3 = − 27m 2.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR12x.gif)
W tym miejscu można dostrzec, że jednym z rozwiązań jest , przyda nam się to za chwilę. Przekształcamy równanie dalej.
![4(m 3 − 3m 2 + 3m − 1)+ 27m 2 = 0 3 2 4m + 1 5m + 12m − 4 = 0.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR14x.gif)
W tym miejscu jesteśmy zmuszeni znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek tego równania. Jeżeli nie zauważyliśmy wcześniej, że jednym z pierwiastków jest , to znajdujemy go teraz sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego. Dzielimy teraz lewą stronę przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 4m + 15m + 1 2m − 4 = (4m + 8m ) + (7m + 14m )− (2m + 4 ) = = 4m 2(m + 2) + 7m (m + 2)− 2(m + 2 ) = (4m 2 + 7m − 2)(m + 2).](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR17x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie.
![Δ = 49 + 32 = 81 m = −-7-−-9 = − 2 lub m = −7-+-9-= 1-. 8 8 4](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR18x.gif)
Jeżeli , to
i
. Jeżeli natomiast
, to
![---3m---- --34- 1- a = 2(m − 1) = − 6= − 2 4](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR23x.gif)
i .
Sposób II
Tak jak poprzednio zauważamy, że równanie musi mieć jeden pierwiastek podwójny i jeden pojedynczy
. Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania stopnia 3.
![( |{ 0 = x1 + x2 + x3 = 2a + b m − 1 = x1x2 + x2x3 + x3x 1 = a2 + ab |( 2 m = x1x2x3 = a b.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR27x.gif)
Układ równań rozwiązujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Sposób III
Korzystamy z prostego do udowodnienia faktu, że pierwiastek podwójny wielomianu jest też pierwiastkiem jego pochodnej. Jeżeli więc jest pierwiastkiem podwójnym danego równania, to
![{ a3 + (m − 1)a− m = 0 2 3a + (m − 1) = 0](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR29x.gif)
Z drugiego równania mamy
![m = 1− 3a2.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR30x.gif)
Podstawiamy to wyrażenie do pierwszego równania
![a3 − 3a3 + 3a2 − 1 = 0](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR31x.gif)
Gołym okiem widać, że jednym z pierwiastków jest :
![a3 − 3a3 + 3a2 − 1 = (a3 − 1)− 3(a3 − a2) = (a− 1)(a2 + a+ 1)− 3a2(a− 1) = 2 2 2 = (a − 1)(a + a+ 1− 3a ) = − (a− 1)(2a − a− 1).](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR33x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w nawiasie
![Δ = 1 + 8 = 9 1 − 3 1 1+ 3 a = ------= − -- lub a = ------= 1. 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR34x.gif)
Zatem lub
. Mamy wtedy odpowiednio
i
. To jeszcze nie jest całkiem koniec, w każdym z tych przypadków musimy wyznaczyć drugi pierwiastek równania. Jeżeli
, to
![x3 + (m − 1 )x− m = x3 − 3x + 2 = (x3 − x2) + (x2 + x) − (2x − 2 ) = 2 = (x− 1)(x + x − 2) = (x − 1)(x − 1 )(x + 2).](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR40x.gif)
Jeżeli natomiast , to
![( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 x + (m − 1 )x− m = x − -x − --= x + -x − --x + -x − -x + -- = ( 4 ) ( 4 2) ( 2 ) (4 ) 2 4 1- 2 1- 1- 1- 1- = x + 2 x − 2 x− 2 = x + 2 x + 2 (x − 1).](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR42x.gif)
Sposób IV
Zauważmy, że zawsze jest pierwiastkiem danego równania, więc możemy podzielić jego lewą stronę przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![3 3 2 2 x + (m − 1 )x− m = (x − x )+ (x − x)+ (mx − m) = = x2(x − 1)+ x(x − 1) + m (x − 1) = (x − 1)(x 2 + x + m ).](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR45x.gif)
Mamy teraz dwie możliwości: albo wielomian kwadratowy w nawiasie ma dwa pierwiastki i jeden z nich jest równy 1, albo ten wielomian ma jeden pierwiastek różny od 1.
Sprawdźmy najpierw, kiedy jest pierwiastkiem tego trójmianu
![1 + 1 + m = 0 ⇐ ⇒ m = − 2.](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR47x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a drugi pierwiastek tego równania spełnia
![x + 1 = −1 ⇒ x = − 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR49x.gif)
Sprawdźmy teraz drugą możliwość, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Tak będzie, gdy
![1 0 = Δ = 1 − 4m ⇐ ⇒ m = -. 4](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR50x.gif)
Ten pierwiastek jest wtedy równy
![x = −b--= − 1. 2a 2](https://img.zadania.info/zad/1832123/HzadR51x.gif)
Odpowiedź: ,
,
lub
,
,