Zadanie nr 1919543
Wielomian ma trzy pierwiastki
, przy czym
i
. Wyznacz
i
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli pierwiastkami wielomianu są liczby
to musi on mieć postać
![W (x) = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR2x.gif)
Mamy w takim razie równość
![3 2 x + mx + nx − 10 = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR3x.gif)
Z prawej strony po wymnożeniu współczynnik przy będzie równy
, więc musi być
. Pozostaje więc równość
![x3 + mx 2 + nx − 10 = (x− x1)(x+ 2x1)(x − 5x 1).](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR7x.gif)
Wymnażamy teraz prawą stronę
![(x − x1)(x + 2x1)(x − 5x 1) = (x2 + 2xx 1 − xx 1 − 2x21)(x − 5x1) = 2 2 3 2 2 2 2 3 = (x + xx1 − 2x 1)(x− 5x1) = x + x x 1 − 2xx 1 − 5x x1 − 5xx 1 + 10x1 = = x3 − 4x2x − 7xx 2+ 10x3. 1 1 1](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR8x.gif)
Mamy zatem
![3 2 3 2 2 3 x + mx + nx − 10 = x − 4x x1 − 7xx1 + 10x 1.](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR9x.gif)
Porównując wyrazy wolne otrzymujemy . Wtedy porównując współczynniki przy
i
otrzymujemy
i
.
Sposób II
Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania
![3 2 x + mx + nx − 10 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR15x.gif)
Mają one postać
![( |{ −m = x1 + x2 + x3 = x 1 − 2x 1 + 5x1 = 4x1 n = x1x2 + x2x3 + x3x1 = −2x 21 − 10x21 + 5x21 = − 7x 21 |( 3 10 = x1x2x3 = − 10x 1.](https://img.zadania.info/zad/1919543/HzadR16x.gif)
Z trzeciego równania mamy , wtedy z dwóch poprzednich równań
i
.
Odpowiedź: