/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 1919543

Wielomian 3 2 W (x) = x + mx + nx − 10 ma trzy pierwiastki x1,x2,x 3 , przy czym x 2 = − 2x1 i x3 = 5x 1 . Wyznacz m i n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwiastkami wielomianu W (x) są liczby x ,− 2x ,5x 1 1 1 to musi on mieć postać

W (x) = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).

Mamy w takim razie równość

3 2 x + mx + nx − 10 = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).

Z prawej strony po wymnożeniu współczynnik przy x 3 będzie równy a , więc musi być a = 1 . Pozostaje więc równość

x3 + mx 2 + nx − 10 = (x− x1)(x+ 2x1)(x − 5x 1).

Wymnażamy teraz prawą stronę

(x − x1)(x + 2x1)(x − 5x 1) = (x2 + 2xx 1 − xx 1 − 2x21)(x − 5x1) = 2 2 3 2 2 2 2 3 = (x + xx1 − 2x 1)(x− 5x1) = x + x x 1 − 2xx 1 − 5x x1 − 5xx 1 + 10x1 = = x3 − 4x2x − 7xx 2+ 10x3. 1 1 1

Mamy zatem

3 2 3 2 2 3 x + mx + nx − 10 = x − 4x x1 − 7xx1 + 10x 1.

Porównując wyrazy wolne otrzymujemy x1 = − 1 . Wtedy porównując współczynniki przy x2 i x otrzymujemy m = 4 i n = − 7 .

Sposób II

Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania

3 2 x + mx + nx − 10 = 0 .

Mają one postać

( |{ −m = x1 + x2 + x3 = x 1 − 2x 1 + 5x1 = 4x1 n = x1x2 + x2x3 + x3x1 = −2x 21 − 10x21 + 5x21 = − 7x 21 |( 3 10 = x1x2x3 = − 10x 1.

Z trzeciego równania mamy x1 = − 1 , wtedy z dwóch poprzednich równań m = 4 i n = − 7 .  
Odpowiedź: (m ,n) = (4,− 7)

Wersja PDF