Wielomian W(x)=x^3+mx^2+nx-10 ma trzy pierwiastki x_1,x_2,x_3,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 1919543

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 1919543

Wielomian $3 2 W (x) = x + mx + nx − 10$ ma trzy pierwiastki $x1,x2,x 3$ , przy czym $x 2 = − 2x1$ i $x3 = 5x 1$ . Wyznacz $m$ i $n$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwiastkami wielomianu $W (x)$ są liczby $x ,− 2x ,5x 1 1 1$ to musi on mieć postać

W (x) = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).

Mamy w takim razie równość

3 2 x + mx + nx − 10 = a(x − x1)(x + 2x 1)(x− 5x1).

Z prawej strony po wymnożeniu współczynnik przy $x 3$ będzie równy $a$ , więc musi być $a = 1$ . Pozostaje więc równość

x3 + mx 2 + nx − 10 = (x− x1)(x+ 2x1)(x − 5x 1).

Wymnażamy teraz prawą stronę

(x − x1)(x + 2x1)(x − 5x 1) = (x2 + 2xx 1 − xx 1 − 2x21)(x − 5x1) = 2 2 3 2 2 2 2 3 = (x + xx1 − 2x 1)(x− 5x1) = x + x x 1 − 2xx 1 − 5x x1 − 5xx 1 + 10x1 = = x3 − 4x2x − 7xx 2+ 10x3. 1 1 1

Mamy zatem

3 2 3 2 2 3 x + mx + nx − 10 = x − 4x x1 − 7xx1 + 10x 1.

Porównując wyrazy wolne otrzymujemy $x1 = − 1$ . Wtedy porównując współczynniki przy $x2$ i $x$ otrzymujemy $m = 4$ i $n = − 7$ .

Sposób II

Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania

3 2 x + mx + nx − 10 = 0 .

Mają one postać

( |{ −m = x1 + x2 + x3 = x 1 − 2x 1 + 5x1 = 4x1 n = x1x2 + x2x3 + x3x1 = −2x 21 − 10x21 + 5x21 = − 7x 21 |( 3 10 = x1x2x3 = − 10x 1.

Z trzeciego równania mamy $x1 = − 1$ , wtedy z dwóch poprzednich równań $m = 4$ i $n = − 7$ .
Odpowiedź: $(m ,n) = (4,− 7)$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!