Zadanie nr 2570070
Równanie ma trzy pierwiastki będące kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie
. Wyznacz
i
.
Rozwiązanie
Wiemy, że dane równanie ma trzy pierwiastki postaci: .
Sposób I
Wielomian z lewej strony równania musi mieć postać
![(x − a)(x + 2a)(x − 4a ).](https://img.zadania.info/zad/2570070/HzadR1x.gif)
Mamy więc równość
![x 3 + mx 2 + nx + 64 = (x − a)(x + 2a)(x − 4a ) = 2 2 = (x + ax − 2a )(x − 4a ) = = x3 + ax2 − 2a2x − 4ax 2 − 4a2x + 8a3 = = x3 − 3ax 2 − 6a 2x + 8a3.](https://img.zadania.info/zad/2570070/HzadR2x.gif)
Porównując wyrazy wolne mamy
![3 64 = 8a ⇒ a = 2.](https://img.zadania.info/zad/2570070/HzadR3x.gif)
Porównując teraz współczynniki przy i
otrzymujemy
i
.
Sposób II
Korzystamy ze wzorów wzorów Viète’a dla równania
![3 2 x + mx + nx + 64 = 0](https://img.zadania.info/zad/2570070/HzadR8x.gif)
Mają one postać
![( | −m = x + x + x = a − 2a + 4a = 3a { 1 2 3 | n = x1x2 + x2x3 + x3x1 = − 2a 2 − 8a 2 + 4a 2 = − 6a2 ( − 64 = x x x = a ⋅(− 2a)⋅ 4a = − 8a3. 1 2 3](https://img.zadania.info/zad/2570070/HzadR9x.gif)
Z ostatniego równania mamy . Wtedy z dwóch pierwszych równań mamy
i
.
Odpowiedź: