Zadanie nr 2621128
Wielomian jest podzielny przez dwumian
. Dla jakich wartości parametru
wielomian
ma dokładnie dwa pierwiastki?
Rozwiązanie
Skoro wielomian jest podzielny przez dwumian
, to go podzielmy. Zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 (m −( 4 )x − (m + 6)x − (m) − 1()x + m + 3 = ) 3 2 2 = (m − 4)x + (m − 4)x − (2m + 2)x + (2m + 2 )x + ((m + 3)x+ m + 3 ) = 2 = (x + 1)((m − 4)x − (2m + 2)x+ (m + 3 )).](https://img.zadania.info/zad/2621128/HzadR2x.gif)
Sprawdźmy kiedy wielomian w nawiasie ma dokładnie jeden pierwiastek.
Jeżeli , to mamy równanie
, które ma dokładnie jedno rozwiązanie (i jest ono różne od
).
Jeżeli , to sprawdźmy kiedy
.
![2 0 = Δ = (2m + 2 ) − 4(m − 4)(m + 3) = 2 2 13- = 4(m + 2m + 1 − m + m + 1 2) = 4(3m + 13) ⇒ m = − 3 .](https://img.zadania.info/zad/2621128/HzadR8x.gif)
Sprawdźmy jeszcze, kiedy pierwiastkiem badanego równania kwadratowego jest (podstawiamy w tym równaniu
).
![0 = m − 4 + 2m + 2 + m + 3 ⇒ 4m = − 1 ⇒ m = − 1. 4](https://img.zadania.info/zad/2621128/HzadR11x.gif)
Liczba jest więc pierwiastkiem trójmianu kwadratowego tylko dla
. W szczególności w przypadku
jedyny pierwiastek równania w nawiasie nie jest równy
.
Z drugiej strony, jeżeli to patrząc na wyliczoną wcześniej
-ę, widzimy, że równanie w nawiasie ma dwa pierwiastki i jeden z nich to
. Zatem też w tym przypadku wyjściowe równanie ma dwa pierwiastki.
Odpowiedź: lub