/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 2956182

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x+ 2)[x − (m + 1)x − 6m + 3m )] = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek x = −2 . Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki, to trójmian w nawiasie musi mieć dokładnie jeden pierwiastek różny od x = − 2 .

Sprawdźmy najpierw, kiedy x = − 2 jest pierwiastkiem trójmianu w nawiasie.

0 = 4+ 2(m + 1 )− 6m 2 + 3m 6m 2 − 5m − 6 = 0 2 Δ = 25 + 14 4 = 169 = 13 5−--13- -8- 2- 5+--13- 18- 3- m = 12 = − 1 2 = − 3 lub m = 12 = 12 = 2.

Sprawdźmy jeszcze jak wygląda Δ trójmianu w nawiasie.

Δ = (m + 1 )2 − 4 (− 6m 2 + 3m ) = 2 2 2 = m + 2m + 1 + 24m − 12m = 25m − 10m + 1 = ( 1) 2 = (5m − 1)2 = 5 m − -- . 5

No to mamy już teraz wszystkie dane, żeby ustalić co jest grane. Jeżeli 1 m = 5 , to trójmian w nawiasie ma jeden pierwiastek i nie jest on równy − 2 , więc całe równanie ma dwa rozwiązania.

Jeżeli natomiast m ⁄= 1 5 , to trójmian w nawiasie ma dwa rozwiązania, ale jeżeli dodatkowo 2 m = − 3 lub 3 m = 2 , to jedno z tych rozwiązań jest równe − 2 i wtedy całe równanie ma nadal dwa rozwiązania. Dla innych wartości m równanie ma trzy rozwiązania.  
Odpowiedź: { 2 1 3} m ∈ − 3,5,2

Wersja PDF