Zadanie nr 3037358
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania
jest liczba 1.
Rozwiązanie
Sposob I
Po pierwsze sprawdzamy, kiedy jest rzeczywiście pierwiastkiem podanego wielomianu.

Widzimy zatem, że lub
. Dla
mamy wielomian

Łatwo sprawdzić (z -y), że wielomian w nawiasie nie ma pierwiastków, czyli
jest ok.
Dla mamy wielomian

W tym miejscu mamy wiele możliwości, możemy go podzielić przez , możemy sprawdzić, że drugi dzielnik wyrazu wolnego, czyli -1 też jest pierwiastkiem, możemy wreszcie rozłożyć wielomian bezpośrednio

Tak czy inaczej, nie jest jedynym pierwiastkiem.
Sposób II
Dzielimy z resztą podany wielomian przez (na razie nie należy przejmować się parametrem
). Tak jak poprzednio robimy to grupując wyrazy (chociaż najprościej byłoby schematem Hornera):

Widać teraz, że jest pierwiastkiem tylko wtedy, gdy reszta
jest równa 0, czyli dla
lub
.
Dla , z powyższego dzielenia mamy:

i wielomian nie ma pierwisatków.
Dla mamy

i nie jest jedynym pierwiastkiem.
Odpowiedź: