Zadanie nr 3037358
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania
jest liczba 1.
Rozwiązanie
Sposob I
Po pierwsze sprawdzamy, kiedy jest rzeczywiście pierwiastkiem podanego wielomianu.
![1+ m 3 − m 2 − 1 = 0 ⇒ m2(m − 1) = 0.](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR1x.gif)
Widzimy zatem, że lub
. Dla
mamy wielomian
![x 3 − 1 = (x− 1)(x2 + x + 1).](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR5x.gif)
Łatwo sprawdzić (z -y), że wielomian w nawiasie nie ma pierwiastków, czyli
jest ok.
Dla mamy wielomian
![3 2 x + x − x − 1.](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR9x.gif)
W tym miejscu mamy wiele możliwości, możemy go podzielić przez , możemy sprawdzić, że drugi dzielnik wyrazu wolnego, czyli -1 też jest pierwiastkiem, możemy wreszcie rozłożyć wielomian bezpośrednio
![3 2 x + x − x − 1 = = x 2(x+ 1)− (x+ 1) = (x2 − 1)(x + 1) = 2 = (x − 1 )(x+ 1)(x+ 1) = (x − 1)(x + 1)](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR11x.gif)
Tak czy inaczej, nie jest jedynym pierwiastkiem.
Sposób II
Dzielimy z resztą podany wielomian przez (na razie nie należy przejmować się parametrem
). Tak jak poprzednio robimy to grupując wyrazy (chociaż najprościej byłoby schematem Hornera):
![x3 + m 3x2 − m2x − 1 = 3 2 2 3 2 2 = (x − x ) + x + m x − m x− 1 = = x2(x − 1) + (m 3 + 1)(x2 − x) + (m 3 + 1 )x− m2x − 1 = 2 3 3 2 3 2 = x (x − 1) + (m + 1)x(x − 1) + (m + 1− m )(x − 1 )+ m + 1− m − 1 = (x − 1)(x2 + (m 3 + 1)x + m 3 + 1 − m 2) + m 3 − m2.](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR15x.gif)
Widać teraz, że jest pierwiastkiem tylko wtedy, gdy reszta
jest równa 0, czyli dla
lub
.
Dla , z powyższego dzielenia mamy:
![3 2 x − 1 = (x − 1)(x + x + 1)](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR21x.gif)
i wielomian nie ma pierwisatków.
Dla mamy
![x 3 + x 2 − x − 1 = (x− 1)(x2 + 2x + 1) = (x − 1 )(x+ 1)2](https://img.zadania.info/zad/3037358/HzadR24x.gif)
i nie jest jedynym pierwiastkiem.
Odpowiedź: