Dane są liczby wymierne a≠ 0, b i k>0 takie, że liczby... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 3607521

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stopnia 3

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 3607521

Dane są liczby wymierne $a ⁄= 0, b$ i $k > 0$ takie, że liczby $√ -- x1 = 1 − k$ i $√ -- x2 = 1+ k$ są pierwiastkami równania $ax 3 + bx 2 + cx+ d = 0$ . Wykaż, że $c$ i $d$ są liczbami wymiernymi.

Rozwiązanie

Sposób I

Wielomian po lewej stronie równania musi mieć rozkład postaci

3 2 √ -- √ -- ax + bx + cx + d√=-a (x− (1− √ k))(x− (1+ k))(x− x3) =√ -- = a((x − 1 )+ k)((x − 1 )− k )(x − x ) = a((x − 1)2 − ( k)2)(x − x ) 3 3 = a(x 2 − 2x + 1− k)(x− x3)

dla pewnej liczby rzeczywistej $x3$ . Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów z prawej strony otrzymamy wielomian, którego współczynnik przy $x2$ jest równy

−ax 3 − 2a.

Z drugiej strony (patrząc na lewą stronę tej równości) jest on równy $b$ , co daje równanie

− ax3 − 2a = b −-2a−--b- x3 = a .

Powyższa równość oznacza, że $x3$ jest również liczbą wymierną. To z kolei oznacza, że wielomian

2 a(x − 2x + 1 − k)(x − x3)

ma wszystkie współczynniki wymierne, czyli $c$ i $d$ są liczbami wymiernymi.

Sposób II

Wielomian stopnia 3 ma zawsze 1 lub 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami), więc dane równanie musi mieć 3 pierwiastki $x1,x2,x 3$ . Możemy więc zastosować wzory Viète’a dla równania stopnia 3.