Sposób I
Wielomian po lewej stronie równania musi mieć rozkład postaci
dla pewnej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów z prawej strony otrzymamy wielomian, którego współczynnik przy
jest równy
Z drugiej strony (patrząc na lewą stronę tej równości) jest on równy , co daje równanie
Powyższa równość oznacza, że jest również liczbą wymierną. To z kolei oznacza, że wielomian
ma wszystkie współczynniki wymierne, czyli i
są liczbami wymiernymi.
Sposób II
Wielomian stopnia 3 ma zawsze 1 lub 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami), więc dane równanie musi mieć 3 pierwiastki . Możemy więc zastosować wzory Viète’a dla równania stopnia 3.
Zauważmy teraz, że pierwsza równość oznacza iż
jest liczbą wymierną. Pozostałe dwie równości możemy zapiać w postaci
Powyższe równości dowodzą, że i
są liczbami wymiernymi.