Zadanie nr 3607521
Dane są liczby wymierne i
takie, że liczby
i
są pierwiastkami równania
. Wykaż, że
i
są liczbami wymiernymi.
Rozwiązanie
Sposób I
Wielomian po lewej stronie równania musi mieć rozkład postaci
![3 2 √ -- √ -- ax + bx + cx + d√=-a (x− (1− √ k))(x− (1+ k))(x− x3) =√ -- = a((x − 1 )+ k)((x − 1 )− k )(x − x ) = a((x − 1)2 − ( k)2)(x − x ) 3 3 = a(x 2 − 2x + 1− k)(x− x3)](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR0x.gif)
dla pewnej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów z prawej strony otrzymamy wielomian, którego współczynnik przy
jest równy
![−ax 3 − 2a.](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR3x.gif)
Z drugiej strony (patrząc na lewą stronę tej równości) jest on równy , co daje równanie
![− ax3 − 2a = b −-2a−--b- x3 = a .](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR5x.gif)
Powyższa równość oznacza, że jest również liczbą wymierną. To z kolei oznacza, że wielomian
![2 a(x − 2x + 1 − k)(x − x3)](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR7x.gif)
ma wszystkie współczynniki wymierne, czyli i
są liczbami wymiernymi.
Sposób II
Wielomian stopnia 3 ma zawsze 1 lub 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami), więc dane równanie musi mieć 3 pierwiastki . Możemy więc zastosować wzory Viète’a dla równania stopnia 3.
![( | x 1 + x 2 + x 3 = − b { a -c | x 1x2 + x2x3 + x3x1 = a ( x 1x2x3 = − d. a](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR11x.gif)
Zauważmy teraz, że pierwsza równość oznacza iż
![b b x 3 = − a-− (x1 + x2) = − a-− 2](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR12x.gif)
jest liczbą wymierną. Pozostałe dwie równości możemy zapiać w postaci
![{ √ -- √ -- c (1− √ k-)(1+ √ k)+ x 3(x1 + x2) = a (1− k )(1+ k)x3 = − d { a 1− k + 2x 3 = c ad (1− k )x3 = − a.](https://img.zadania.info/zad/3607521/HzadR13x.gif)
Powyższe równości dowodzą, że i
są liczbami wymiernymi.