Dany jest wielomian W(x)=x^3-a^2x+x^2-a^2, gdzie |a|≠... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 3745322

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 3745322

Dany jest wielomian $3 2 2 2 W (x) = x − a x + x − a$ , gdzie $|a| ⁄= 1$ .

Oblicz sumę pierwiastków tego wielomianu.
Wyznacz wartość parametru $a$ , dla której suma kwadratów pierwiastków wielomianu $W (x)$ jest możliwie najmniejsza.

Rozwiązanie

Rozkładamy wielomian na czynniki $x 3− a2x + x2 − a2 = x(x 2− a2)+ (x2− a2) = (x+ 1)(x 2− a2) = (x + 1)(x − a)(x + a).$
Zatem pierwiastki wielomianu to $− 1 , −a$ oraz $a$ . Suma pierwiastków jest więc równa
$− 1− a+ a = − 1.$

Odpowiedź: -1
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że suma kwadratów pierwiastków wielomianu $W (x)$ jest równa $f(a) = 1 + a 2 + a2 = 2a 2 + 1 .$
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, zatem najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla $a = 0$ .
Odpowiedź: $a = 0$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!