Dany jest wielomian Q(x)=2x^3-3x^2-3x+d. Liczba 1 jest pierwiastkiem... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 3869762

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 3869762

Dany jest wielomian $3 2 Q(x ) = 2x − 3x − 3x + d$ .

Liczba 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz $d$ .
Dla $d = 2$ przedstaw wielomian $Q$ w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego.

Rozwiązanie

Ponieważ 1 jest pierwiastkiem, to $0 = Q (1) = 2− 3− 3+ d = − 4 + d.$
Stąd $d = 4$ .
Odpowiedź: $d = 4$
Żeby znaleźć pierwiastki całkowite (lepiej zacząć od nich zanim spróbujemy z wymiernymi), wstawiamy do wielomianu dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby -1,1,-2,2 tak długo aż dla jakiejś wyjdzie 0 – wychodzi już dla -1 . Jak już mamy pierwiastek, to dzielimy wielomian przez $(x + 1 )$ . Robimy to tak jak umiemy, schemat Hornera, dzielenie wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to tą ostatnią metodą: $3 2 2x − 3x − 3x + 2 = = 2 (x 3 + x 2)− 2x 2 − 3x2 − 3x + 2 = 2 2 = 2x (x+ 1)− 5x − 3x + 2 = = 2x 2(x+ 1)− 5(x2 + x)+ 5x − 3x + 2 = = 2x 2(x+ 1)− 5x(x + 1) + 2x + 2 = 2 = 2x (x+ 1)− 5x(x + 1) + 2(x + 1) = = (x + 1 )(2x2 − 5x + 2).$
Pozostało teraz rozłożyć $2 2x − 5x+ 2$ . Robimy to standardowo, $Δ = 25− 16 = 9 = 3 2$ . Stąd
$5 − 3 1 x1 = ------= -- 4 2 5-+-3- x2 = 4 = 2.$
Mamy zatem szukany rozkład
$( ) 2x3 − 3x2 − 3x + 2 = 2(x+ 1) x − 1- (x− 2). 2$

Odpowiedź: $( ) 2(x + 1) x − 1 (x − 2) 2$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!