Zadanie nr 4031216

Dane jest równanie

2 (x − 6) ⋅[(m − 2)x − 4(m + 3)x + m + 1] = 0

z niewiadomą i parametrem m ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Rozwiązanie

Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek x3 = 6 . Jeżeli równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, to równanie w drugim nawiasie musi być kwadratowe (czyli m ⁄= 2 ), musi mieć dwa różne rozwiązania x1,x 2 (czyli Δ > 0 ), oraz żadne z tych rozwiązań nie może być równe 6. Sprawdźmy najpierw –ę.

0 < Δ = 16(m + 3)2 − 4(m − 2)(m + 1) = = 16(m 2 + 6m + 9)− 4(m2 − m − 2) = 4(3m 2 + 25m + 38) 2 2 Δm = 25 − 4 ⋅3⋅ 38 = 169 = 13 −-25-−-13- 38- 19- −-25+--13- m 1 = 6 = − 6 = − 3 , m2 = 6 = − 2 ( ) m ∈ − ∞ ,− 1-9 ∪ (− 2,+ ∞ ). 3

Sprawdźmy jeszcze kiedy pierwiastkiem równania kwadratowego jest x = 6 .

0 = 36(m − 2 )− 2 4(m + 3) + m + 1 143 = 13m ⇒ m = 11.

W takim razie tą wartość będziemy musieli usunąć ze zbioru rozwiązań.

Ostatnia rzecz, którą musimy ustalić, to kiedy wszystkie trzy rozwiązania są tego samego znaku, czyli kiedy są dodatnie (bo wiemy już, że jednym z rozwiązań jest x3 = 6 ). Jeżeli oznaczymy przez i pierwiastki równania kwadratowego, to na mocy wzorów Viète’a mamy