Zadanie nr 4040034
Wyznacz współczynniki i
wielomianu
wiedząc, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu
.
Rozwiązanie
Ponieważ jest pierwiastkiem, mamy

Pozostało teraz wykorzystać informację, że jest pierwiastkiem podwójnym.
Sposób I
Najprostszy sposób to użycie pochodnych. Łatwo uzasadnić, że liczba jest pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu to jest też pierwiastkiem pochodnej. W naszej sytuacji

Zatem (bo
).
Sposób II
Jeżeli nie chcemy używać pochodnych to dzielimy przez
. My zrobimy to grupując wyrazy

Skoro pierwiastek jest dwukrotny to musi być pierwiastkiem otrzymanego wielomianu stopnia 3. Zatem

Stąd .
Sposób III
W zasadzie robimy to co w sposobie II, ale od razu dzielimy przez . Sprawdzimy kiedy reszta przy tym dzielniu jest 0.

Jeżeli reszta ma być 0, to musi być , stąd
.

Sposób IV
Jeżeli jest pierwiastkiem podwójnym danego wielomianu to musi on mieć postać

dla pewnego . Z równości

otrzymujemy , czyli
. Zatem

Sposób V
Jeżeli równanie stopnia 3 ma pierwiastek podwójny, to automatycznie ma też trzeci pierwiastek (bo musi to być równanie postaci: ). W takim razie możemy skorzystać ze wzorów Viète’a dla równania stopnia 3. Mamy zatem

Z pierwszego równania mamy , wtedy drugiego i trzeciego

Odpowiedź: