/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 4075342

Jedynym rozwiązaniem wymiernym równania 3 2 2x + x − x + m = 0 , gdzie m ∈ R , jest liczba a ∈ (1 ,2) . Wyznacz liczbę m oraz pozostałe pierwiastki wielomianu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozwiązania wymierne podanego równania są postaci p q , gdzie p dzieli m , a q dzieli 2. Jedyna liczba tej postaci w przedziale (1,2) to 3 2 . Sprawdźmy kiedy jest to pierwiastek wielomianu.

27- 9- 3- 2 ⋅ 8 + 4 − 2 + m = 0 27+ 9− 6 ----------+ m = 0 4 3-0 15- m = − 4 = − 2 .

Równanie możemy więc zapisać w postaci.

4x3 + 2x2 − 2x − 15 = 0.

Dzielimy je teraz przez 2(x − 32) = (2x − 3) . My zrobimy to grupując wyrazy.

4x 3 + 2x2 − 2x − 15 = 4x 3 − 6x2 + 8x2 − 12x + 10x − 15 = 2 = (2x− 3)(2x + 4x + 5) Δ = 16 − 40 < 0.

Zatem równanie nie ma innych pierwiastków.  
Odpowiedź: m = − 152

Wersja PDF