Zadanie nr 4349484
Udowodnij, że jeżeli wielomian ma trzy pierwiastki, to
jest liczbą ujemną.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiadomo jak wygląda wykres wielomianu stopnia 3. Jeżeli ma on mieć trzy pierwiastki to musi on mieć minimum, które znajduje się poniżej osi . Sprawdźmy w jakim punkcie jest minimum. Liczymy pochodną
![W ′(x) = 3x2 + p.](https://img.zadania.info/zad/4349484/HzadR1x.gif)
Widać teraz, że aby istniało minimum (czyli, w tej sytuacji, miejsce zerowe pochodnej), musi być ujemne. Innymi słowy, jeżeli
nie jest ujemne, to pochodna jest dodatnia, czyli
jest funkcją rosnącą i nie może mieć trzech miejsc zerowych.
Sposób II
Zauważmy, że jest funkcją rosnącą, a
, dla
i
są niemalejące. Zatem dla
funkcja
jest funkcją rosnącą i może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe.
Na koniec, dla ciekawskich przykładowe wykresy funkcji dla
i dla
.
Zauważmy, że tak naprawdę nie ustaliliśmy czy ma trzy pierwiastki dla
, pokazaliśmy tylko, że jeżeli
to ma tylko jeden.
Sposób III
Na mocy wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia 3 mamy
![( |{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 | x 1x2 + x 2x3 + x3x1 = p ( x 1x2x3 = −q .](https://img.zadania.info/zad/4349484/HzadR18x.gif)
Zatem
![0 = (x1 + x2 + x3)2 = x21 + x22 + x23 + 2(x1x2 + x2x 3 + x 3x1) 2 2 2 − (x1 + x2 + x3) = 2p .](https://img.zadania.info/zad/4349484/HzadR19x.gif)
To oczywiście oznacza, że jest liczbą ujemną.