/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 4349484

Udowodnij, że jeżeli wielomian 3 W (x) = x + px + q ma trzy pierwiastki, to p jest liczbą ujemną.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiadomo jak wygląda wykres wielomianu stopnia 3. Jeżeli ma on mieć trzy pierwiastki to musi on mieć minimum, które znajduje się poniżej osi Ox . Sprawdźmy w jakim punkcie jest minimum. Liczymy pochodną

W ′(x) = 3x2 + p.

Widać teraz, że aby istniało minimum (czyli, w tej sytuacji, miejsce zerowe pochodnej), p musi być ujemne. Innymi słowy, jeżeli p nie jest ujemne, to pochodna jest dodatnia, czyli W (x) jest funkcją rosnącą i nie może mieć trzech miejsc zerowych.

Sposób II

Zauważmy, że 3 x jest funkcją rosnącą, a px , dla p ≥ 0 i q są niemalejące. Zatem dla p ≥ 0 funkcja W (x) jest funkcją rosnącą i może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe.

Na koniec, dla ciekawskich przykładowe wykresy funkcji W (x) dla p > 0 i dla p < 0 .

PIC

Zauważmy, że tak naprawdę nie ustaliliśmy czy W (x) ma trzy pierwiastki dla p < 0 , pokazaliśmy tylko, że jeżeli p ≥ 0 to ma tylko jeden.

Sposób III

Na mocy wzorów Viète’a dla wielomianu stopnia 3 mamy

( |{ x 1 + x 2 + x 3 = 0 | x 1x2 + x 2x3 + x3x1 = p ( x 1x2x3 = −q .

Zatem

0 = (x1 + x2 + x3)2 = x21 + x22 + x23 + 2(x1x2 + x2x 3 + x 3x1) 2 2 2 − (x1 + x2 + x3) = 2p .

To oczywiście oznacza, że p jest liczbą ujemną.

Wersja PDF