Zadanie nr 4706101
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których pierwiastki wielomianu
tworzą ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie
Jeden pierwiastek danego równania widać gołym okiem – jest to . Pozostałe pierwiastki są pierwiastkami równania kwadratowego
![x 2 + (m − 6)x + (m − 7) = 0.](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR1x.gif)
Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania
![2 2 Δ = (m − 6) − 4(m − 7) = m − 12m + 36− 4m + 2 8 = 2 2 = m − 16m + 64 = (m − 8) .](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR2x.gif)
Równanie kwadratowe ma więc zawsze pierwiastki, przy czym dla równanie ma postać
![x2 + 2x+ 1 = (x + 1)2](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR4x.gif)
i ma tylko jedno rozwiązanie . Dwie liczby
i
tworzą ciąg arytmetyczny (o różnicy
), więc
spełnia warunki zadania.
Jeżeli natomiast , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
i na mocy wzorów Viète’a spełniają one warunki
![{ x1 + x2 = −(m − 6) = 6 − m x1x 2 = m − 7 .](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR12x.gif)
Nadal jednak nie wiemy, czy wyjściowe równanie ma dwa czy trzy pierwiastki – to zależy od tego, czy jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Taka sytuacja ma miejsce tylko dla
– wtedy równanie kwadratowe ma postać
![0 = x2 + x = x(x + 1)](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR15x.gif)
i jedyne niezerowe rozwiązanie to . Podobnie jak w przypadku
, w tej sytuacji też są spełnione warunki zadania.
Pozostał najciekawszy przypadek, gdy wyjściowe równanie ma trzy różne pierwiastki: . Nadal nie wiemy w jakiej kolejności te liczby mają tworzyć ciąg arytmetyczny – tak naprawdę są dwie możliwości: albo
jest pomiędzy
i
, albo
jest skrajnym wyrazem ciągu. W pierwszym przypadku mamy
![2⋅ 0 = x + x = 6 − m ⇐ ⇒ m = 6 . 1 2](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR23x.gif)
W drugim przypadku, możemy założyć, że arytmetyczny jest ciąg (jeżeli
jest trzecim wyrazem ciągu, to możemy ustawić te trzy liczby w odwrotnej koejności i też otrzymamy ciąg arytmetyczny). Mamy wtedy
![2x1 = x2](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR26x.gif)
i wzory Viète’a przybierają postać
![{ 6− m = x1 + x2 = x1 + 2x1 = 3x 1 m − 7 = x1x2 = 2x12.](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR27x.gif)
Z pierwszego równania mamy i wtedy drugie równanie przyjmuje postać
![( m ) 2 8 2m 2 m − 7 = 2 2− -- = 8− -m + ---- / ⋅ 9 3 3 9 0 = 2m 2 − 33m + 135 2 Δ = 33 − 1080 = 9 33-−-3- 15- 33+--3- m = 4 = 2 lub m = 4 = 9.](https://img.zadania.info/zad/4706101/HzadR29x.gif)
Odpowiedź: