Wyznacz wszystkie wartości parametru mϵ R, dla których... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 4706101

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stopnia 3

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 4706101

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m ∈ R$ , dla których pierwiastki wielomianu $W (x) = x3 + (m − 6)x 2 + (m − 7)x$ tworzą ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie

Jeden pierwiastek danego równania widać gołym okiem – jest to $x = 0$ . Pozostałe pierwiastki są pierwiastkami równania kwadratowego

x 2 + (m − 6)x + (m − 7) = 0.

Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania

2 2 Δ = (m − 6) − 4(m − 7) = m − 12m + 36− 4m + 2 8 = 2 2 = m − 16m + 64 = (m − 8) .

Równanie kwadratowe ma więc zawsze pierwiastki, przy czym dla $m = 8$ równanie ma postać

x2 + 2x+ 1 = (x + 1)2

i ma tylko jedno rozwiązanie $x = − 1$ . Dwie liczby $x = − 1$ i $x = 0$ tworzą ciąg arytmetyczny (o różnicy $r = 1$ ), więc $m = 8$ spełnia warunki zadania.

Jeżeli natomiast $m ⁄= 8$ , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania $x1,x 2$ i na mocy wzorów Viète’a spełniają one warunki

{ x1 + x2 = −(m − 6) = 6 − m x1x 2 = m − 7 .

Nadal jednak nie wiemy, czy wyjściowe równanie ma dwa czy trzy pierwiastki – to zależy od tego, czy $x = 0$ jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Taka sytuacja ma miejsce tylko dla $m = 7$ – wtedy równanie kwadratowe ma postać

0 = x2 + x = x(x + 1)

i jedyne niezerowe rozwiązanie to $x = − 1$ . Podobnie jak w przypadku $m = 8$ , w tej sytuacji też są spełnione warunki zadania.

Pozostał najciekawszy przypadek, gdy wyjściowe równanie ma trzy różne pierwiastki: $0,x1,x2$ . Nadal nie wiemy w jakiej kolejności te liczby mają tworzyć ciąg arytmetyczny – tak naprawdę są dwie możliwości: albo $x = 0$ jest pomiędzy $x1$ i $x2$ , albo $x = 0$ jest skrajnym wyrazem ciągu. W pierwszym przypadku mamy

2⋅ 0 = x + x = 6 − m ⇐ ⇒ m = 6 . 1 2

W drugim przypadku, możemy założyć, że arytmetyczny jest ciąg $(0 ,x ,x ) 1 2$ (jeżeli $x = 0$ jest trzecim wyrazem ciągu, to możemy ustawić te trzy liczby w odwrotnej koejności i też otrzymamy ciąg arytmetyczny). Mamy wtedy