Jeden pierwiastek danego równania widać gołym okiem – jest to . Pozostałe pierwiastki są pierwiastkami równania kwadratowego
Sprawdźmy kiedy to równanie ma rozwiązania
Równanie kwadratowe ma więc zawsze pierwiastki, przy czym dla równanie ma postać
i ma tylko jedno rozwiązanie . Dwie liczby
i
tworzą ciąg arytmetyczny (o różnicy
), więc
spełnia warunki zadania.
Jeżeli natomiast , to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
i na mocy wzorów Viète’a spełniają one warunki
Nadal jednak nie wiemy, czy wyjściowe równanie ma dwa czy trzy pierwiastki – to zależy od tego, czy jest pierwiastkiem równania kwadratowego. Taka sytuacja ma miejsce tylko dla
– wtedy równanie kwadratowe ma postać
i jedyne niezerowe rozwiązanie to . Podobnie jak w przypadku
, w tej sytuacji też są spełnione warunki zadania.
Pozostał najciekawszy przypadek, gdy wyjściowe równanie ma trzy różne pierwiastki: . Nadal nie wiemy w jakiej kolejności te liczby mają tworzyć ciąg arytmetyczny – tak naprawdę są dwie możliwości: albo
jest pomiędzy
i
, albo
jest skrajnym wyrazem ciągu. W pierwszym przypadku mamy
W drugim przypadku, możemy założyć, że arytmetyczny jest ciąg (jeżeli
jest trzecim wyrazem ciągu, to możemy ustawić te trzy liczby w odwrotnej koejności i też otrzymamy ciąg arytmetyczny). Mamy wtedy
i wzory Viète’a przybierają postać
Z pierwszego równania mamy i wtedy drugie równanie przyjmuje postać
Odpowiedź: