Zadanie nr 4818893
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla którego wielomian
ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Rozwiązanie
Specjalnie nie widać co zrobić z danych równaniem, więc spróbujmy nie przejmować się parametrem i sprawdźmy, czy jesteśmy w stanie znaleźć jakiś oczywisty pierwiastek wielomianu. Kandydaci na pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby 1,-1,2,-2. Sprawdzając po kolei można zauważyć, że jest pierwiastkiem. Zatem wielomian można podzielić przez
. My dzielimy grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 x + (m + 1)x + (m + 2)x+ 2 = x + x + mx + mx + 2x + 2 = = x 2(x+ 1)+ mx (x+ 1)+ 2(x+ 1) = (x + 1)(x 2 + mx + 2).](https://img.zadania.info/zad/4818893/HzadR2x.gif)
Sprawdźmy teraz, kiedy trójmian w nawiasie ma dwa pierwiastki
![2 √ -- √ -- 0 < Δ = m − 8 = (m − 2 2)(m + 2 2) m ∈ (− ∞ ,− 2√ 2) ∪ (2√ 2,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/4818893/HzadR3x.gif)
To jeszcze nie koniec, bo trzeba sprawdzić, czy przypadkiem jeden z pierwiastków trójmianu nie jest równy (bo wtedy dane równanie 3-go stopnia nie będzie miało trzech pierwiastków). Sprawdźmy, kiedy
jest pierwiastkiem trójmianu.
![(−1 )2 − m + 2 = 0 m = 3.](https://img.zadania.info/zad/4818893/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: