Zadanie nr 4913698
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![x 3 + 3x 2 − m2x + (m 2 − 4) = 0](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadT1x.png)
ma trzy różne pierwiastki, z których jeden jest ujemny, a pozostałe dwa należą do przedziału .
Rozwiązanie
Najtrudniejsze w tym zadaniu, to znaleźć punkt zaczepienia – żeby w ogóle zacząć coś liczyć. Jeżeli chwilę pobawimy się danym równaniem, to można zauważyć, że suma współczynników przy –ach jest równa 0. To oznacza, że
jest jednym z pierwiastków tego równania. Dzielimy więc lewą stronę przez
. My jak zawsze zrobimy to grupując wyrazy.
![( ) ( ) x3 + 3x2 − m 2x+ (m 2 − 4 ) = x3 − x2 + 4x2 − 4x − (m 2 − 4)x + (m 2 − 4) = = x2(x − 1) + 4x(x − 1) − (m 2 − 4)(x − 1) = 2 2 = (x + 4x − (m − 4 ))(x− 1).](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR3x.png)
Teraz sprawa jest już dużo prostsza, bo pozostała nam analiza trójmianu w pierwszym nawiasie. Wyjściowe równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, więc trójmian musi mieć dwa różne pierwiastki i żaden z nich nie może być równy 1. Sprawdźmy najpierw, kiedy jest pierwiastkiem tego trójmianu.
![0 = 1 + 4 − (m 2 − 4) = 9 − m 2 = (3− m )(3+ m).](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR5x.png)
Musi więc być . Liczymy teraz
–ę.
![2 2 2 Δ = 16+ 4(m − 4) = 4m = (2m ) .](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR8x.png)
Równanie kwadratowe ma więc dwa różne pierwiastki jeżeli . Przy tym założeniu łatwo obliczyć te pierwiastki
![−-4-−-2m- −4-+-2m-- x = 2 = − 2 − m lub x = 2 = − 2+ m](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR10x.png)
(zauważmy, że gdybyśmy za pierwiastek z –y wzięli
, to otrzymalibyśmy dokładnie te same pierwiastki).
Teraz w sumie jest prosta sprawa – mniejszy z tych pierwiastków ma być ujemny, a większy ma być w przedziale . Niestety nie wiemy jaki jest znak
, więc nie wiemy który z tych pierwiastków jest większy, a który jest mniejszy. Rozważmy więc dwa przypadki.
Jeżeli , muszą być spełnione nierówności
![{ { − 2− m < 0 − 2 < m 1 ≤ − 2 + m ≤ 5 ⇐ ⇒ 5≤ m ≤ 7. 2 2](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR16x.png)
W tym przypadku mamy więc (bo
). Jeżeli natomiast
, to muszą być spełnione nierówności
![{ { { − 2+ m < 0 m < 2 m < 2 1 ⇐ ⇒ 5 ⇐ ⇒ 5 2 ≤ − 2 − m ≤ 5 2 ≤ −m ≤ 7 − 2 ≥ m ≥ − 7](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR20x.png)
W tym przypadku mamy więc . Łączymy oba przypadki i otrzymujemy rozwiązanie
![( 5] [ 5 ) m ∈ [−7 ,−3 )∪ − 3,− -- ∪ -,3 ∪ (3,7 ]. 2 2](https://img.zadania.info/zad/4913698/HzadR22x.png)
Odpowiedź: