Zadanie nr 5085289
Dla jakich wartości parametru wielomian
ma trzy pierwiastki rzeczywiste?
Rozwiązanie
Miejsce umieszczenia parametru we wzorze wielomianu – jako wyrazu wolnego sprawia, że zniknie on, gdy obliczymy pochodną
. Liczymy
![W ′(x) = 3x2 − 8x − 3 .](https://img.zadania.info/zad/5085289/HzadR2x.gif)
Rozkładamy teraz ten trójmian
![Δ = 6 4+ 3 6 = 100 8− 10 2 1 8 + 10 x = -------= − --= − -- lub x = -------= 3. 6 6 3 6](https://img.zadania.info/zad/5085289/HzadR3x.gif)
Stąd
![( 1) W ′(x) = 3 x+ -- (x− 3) 3](https://img.zadania.info/zad/5085289/HzadR4x.gif)
i wielomian ma dwa ekstrema lokalne – maksimum w punkcie
i minimum w punkcie
. Obliczmy jeszcze wartości funkcji
w tych punktach.
![( ) 1- -1- 4- 14- W − 3 = − 27 − 9 + 1− p = 27 − p W (3 ) = 27 − 36 − 9 − p = − 18 − p](https://img.zadania.info/zad/5085289/HzadR9x.gif)
Możemy teraz naszkicować wykres tej funkcji.
Z wykresu widać, że dane równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy
![{ ( ) W − 1 > 0 3 W (3) < 0 { 14 14 27 − p > 0 ⇐ ⇒ 27 > p − 18 − p < 0 ⇐ ⇒ − 18 < p. ( ) p ∈ − 18 , 14 27](https://img.zadania.info/zad/5085289/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: