Zadanie nr 5446771
Dany jest wielomian , gdzie
jest liczbą pierwszą. Wyznacz
wiedząc, że
ma pierwiastek całkowity.
Rozwiązanie
Pierwiastek całkowity danego wielomianu musi być dzielnikiem wyrazu wolnego, czyli . Z drugiej strony
jest liczbą pierwszą, więc ma tylko 4 dzielniki:
. Sprawdzamy po kolei, czy któraś z tych liczb może być pierwiastkiem wielomianu
![0 = (−p )3 − 4p + p ⇐ ⇒ p3 + 3p = 0 3 0 = (− 1) − 4 + p ⇐ ⇒ p = 5 0 = 1 + 4 + p ⇐ ⇒ p = − 5 3 0 = p + 4p + p.](https://img.zadania.info/zad/5446771/HzadR3x.gif)
Pierwsza, trzecia i czwarta równość są sprzeczne, bo ma być liczbą pierwszą, więc w szczególności dodatnią. Pozostaje zatem druga równość, skąd
.
Odpowiedź: