Zadanie nr 5471140
Liczby i 3 są pierwiastkami wielomianu
. Wyznacz liczby
i
oraz trzeci pierwiastek wielomianu.
Rozwiązanie
Podstawiając podane pierwiastki do wzoru wielomianu otrzymujemy układ równań
![{ − 8+ 4a+ b = 0 27+ 9a+ b = 0.](https://img.zadania.info/zad/5471140/HzadR0x.gif)
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić ) i mamy
![27+ 9a + b+ 8− 4a− b = 0 5a = − 35 ⇒ a = − 7.](https://img.zadania.info/zad/5471140/HzadR2x.gif)
Z pierwszego równania mamy więc . Mamy więc do czynienia z wielomianem
![W (x) = x 3 − 7x 2 + 3 6.](https://img.zadania.info/zad/5471140/HzadR4x.gif)
Wiemy, że wielomian ten jest podzielny przez
![(x + 2)(x − 3) = x 2 − x − 6 .](https://img.zadania.info/zad/5471140/HzadR5x.gif)
Wykonujemy to dzielnie – my zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 x − 7x + 36 = (x − x − 6x) − (6x − 6x − 36) = = x(x 2 − x − 6)− 6 (x2 − x− 6) = (x2 − x − 6)(x − 6).](https://img.zadania.info/zad/5471140/HzadR6x.gif)
Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest więc .
Odpowiedź: