Zadanie nr 6050858
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie
ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.
Rozwiązanie
Jedno rozwiązanie widać od ręki: . Jak podzielimy równanie przez
zostaje nam równanie
![mx 2 + (9m − 3 )x + (2− m ) = 0 .](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR2x.gif)
Jeżeli równanie to jest liniowe (dla ) to mamy
![−3x + 2 = 0 ⇒ x = 2- 3](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR4x.gif)
i jest OK.
Jeżeli , to sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki
![0 ≤ Δ = (9m − 3 )2 − 4m (2 − m ) = 2 2 2 = 81m − 54m + 9− 8m + 4m = 8 5m − 62m + 9 Δ = 3 844− 3060 = 784 = 282 m1 = 1, m 2 = 9-- ( 5 ⟩ 1⟨7 ) 1- 9-- m ∈ − ∞ ,5 ∪ 17,+ ∞ .](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR6x.gif)
Sposób I
Jeżeli to ramiona paraboli
są skierowane w dół i będzie ona miała dodatni pierwiastek o ile
, lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności wyżej) i wierzchołek paraboli jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy
.
![0 < f(0) = 2− m ⇒ m < 2.](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR11x.gif)
W ten sposób nie musimy nic więcej sprawdzać, bo widać, że dla wszystkich jest OK.
Jeżeli , to równanie będzie miało dodatni pierwiastek jeżeli
, lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności z
-ą) i wierzchołek jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy
![0 > f(0) = 2− m ⇒ m > 2.](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR17x.gif)
Sprawdźmy jeszcze kiedy
![0 < xw = − 9m-−--3 2m 1- 0 > 9m − 3 ⇐ ⇒ m < 3 .](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR19x.gif)
W połączeniu z nierównością na -ę mamy w tym przypadku
.
Podsumowując obie możliwości, rozwiązaniem jest zbiór
![( 1⟩ m ∈ −∞ , -- ∪ (2,+ ∞ ). 5](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR22x.gif)
Sposób II
Tym razem użyjemy wzorów Viète’a. Mamy dwie możliwości: musimy mieć dwa pierwiastków różnych znaków (czyli ), lub jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny (
i
). Pierwsza możliwość daje nam
![0 > x 1x 2 = 2-−-m- m 0 < m (m − 2) ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,0)∪ (2 ,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR26x.gif)
W połączeniu z -ą daje to przedziały
.
Sprawdźmy teraz drugą możliwość. Nierówność da nam przedział
, a nierówność
daje
![9m − 3 − ------- > 0 m m (9m − 3) < 0 ( 1 ) m ∈ 0,-- . 3](https://img.zadania.info/zad/6050858/HzadR32x.gif)
W połączeniu z warunkiem na -ę mamy więc
.
Odpowiedź: