Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6050858

Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie mx 3 + (9m − 3)x2 + (2 − m )x = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jedno rozwiązanie widać od ręki: x = 0 . Jak podzielimy równanie przez x zostaje nam równanie

mx 2 + (9m − 3 )x + (2− m ) = 0 .

Jeżeli równanie to jest liniowe (dla m = 0 ) to mamy

−3x + 2 = 0 ⇒ x = 2- 3

i jest OK.

Jeżeli m ⁄= 0 , to sprawdźmy kiedy równanie ma pierwiastki

0 ≤ Δ = (9m − 3 )2 − 4m (2 − m ) = 2 2 2 = 81m − 54m + 9− 8m + 4m = 8 5m − 62m + 9 Δ = 3 844− 3060 = 784 = 282 m1 = 1, m 2 = 9-- ( 5 ⟩ 1⟨7 ) 1- 9-- m ∈ − ∞ ,5 ∪ 17,+ ∞ .

Sposób I

Jeżeli m < 0 to ramiona paraboli f(x) = mx 2 + (9m − 3)x + (2 − m ) są skierowane w dół i będzie ona miała dodatni pierwiastek o ile f (0) > 0 , lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności wyżej) i wierzchołek paraboli jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy f(0 ) > 0 .

0 < f(0) = 2− m ⇒ m < 2.

W ten sposób nie musimy nic więcej sprawdzać, bo widać, że dla wszystkich m < 0 jest OK.

Jeżeli m > 0 , to równanie będzie miało dodatni pierwiastek jeżeli f (0) < 0 , lub gdy równanie ma pierwiastki (nierówności z Δ -ą) i wierzchołek jest na prawo od 0. Sprawdźmy kiedy f(0 ) < 0

0 > f(0) = 2− m ⇒ m > 2.

Sprawdźmy jeszcze kiedy xw > 0

0 < xw = − 9m-−--3 2m 1- 0 > 9m − 3 ⇐ ⇒ m < 3 .

W połączeniu z nierównością na Δ -ę mamy w tym przypadku m ∈ (0, 1⟩ ∪ (2,+ ∞ ) 5 .

Podsumowując obie możliwości, rozwiązaniem jest zbiór

 ( 1⟩ m ∈ −∞ , -- ∪ (2,+ ∞ ). 5

Sposób II

Tym razem użyjemy wzorów Viète’a. Mamy dwie możliwości: musimy mieć dwa pierwiastków różnych znaków (czyli x1x2 < 0 ), lub jeden z pierwiastków jest dodatni, a drugi nieujemny (x1x 2 ≥ 0 i x1 + x2 > 0 ). Pierwsza możliwość daje nam

0 > x 1x 2 = 2-−-m- m 0 < m (m − 2) ⇐ ⇒ m ∈ (− ∞ ,0)∪ (2 ,+ ∞ ).

W połączeniu z Δ -ą daje to przedziały m ∈ (− ∞ ,0)∪ (2,+ ∞ ) .

Sprawdźmy teraz drugą możliwość. Nierówność x 1x2 ≥ 0 da nam przedział (0,2 ⟩ , a nierówność x1 + x2 > 0 daje

 9m − 3 − ------- > 0 m m (9m − 3) < 0 ( 1 ) m ∈ 0,-- . 3

W połączeniu z warunkiem na Δ -ę mamy więc  1 m ∈ (− ∞ , 5⟩∪ (2,+ ∞ ) .  
Odpowiedź: m ∈ (− ∞ , 1⟩ ∪ (2,+ ∞ ) 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!