Dane jest równanie (x+3)[x^2+(p+4)x+(p+1)^2]=0 z niewiadomą x.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 6258301

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 6258301

Dane jest równanie $2 2 (x + 3)[x + (p + 4)x + (p + 1 ) ] = 0$ z niewiadomą $x$ .

Rozwiąż to równanie dla $p = 1$ .
Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$ , dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie

Po wstawieniu $p = 1$ mamy równanie $(x + 3)[x2 + 5x + 4] = 0.$
Oczywiście jednym z pierwiastków jest $x = − 3$ , pozostało zająć się trójmianem kwadratowym w nawiasie.
$2 x + 5x + 4 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 x = − 4 ∨ x = − 1.$

Odpowiedź: $− 4,− 3,− 1$
Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek $x = − 3$ . Jeżeli ma to być jedyny pierwiastek, to trójmian kwadratowy w nawiasie musi nie mieć pierwiastków, lub jedynym jego pierwiastkiem musi być $x = − 3$ . Sprawdźmy kiedy nie ma on pierwiastków (liczymy $Δ$ -ę). $2 2 0 > Δ = (p + 4) − 4(p + 1) = (p + 4− 2 (p+ 1))(p + 4 + 2(p + 1)) 0 > (−p + 2)(3p + 6) = − 3(p − 2)(p + 2) 0 < (p − 2)(p + 2) ⇒ p ∈ (− ∞ ,− 2)∪ (2 ,+∞ ).$
Pozostało sprawdzić co się dzieje dla $p = ± 2$ .
Dla $p = − 2$ , mamy równanie
$2 2 x + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1) = 0 ⇒ x = − 1.$
Zatem wyjściowe równanie ma dwa rozwiązania.
Dla $p = 2$ , mamy równanie
$x 2 + 6x + 9 = 0 ⇒ (x + 3)2 = 0 ⇒ x = − 3.$
Zatem w tym przypadku jest OK.
Odpowiedź: $p ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ ⟨2,+ ∞ )$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!