Zadanie nr 6498821
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 (x − 3)[x + (m − 9)x + m − m + 16] = 0](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadT1x.gif)
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunek
![x1 ⋅x 2 ⋅x3 > x21 + x22 + x23 − 3m − 2 2.](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadT4x.gif)
Rozwiązanie
Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek . Jeżeli równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, to równanie kwadratowe w drugim nawiasie musi mieć dwa różne rozwiązania
(czyli
) oraz żadne z tych rozwiązań nie może być równe 3. Sprawdźmy najpierw
–ę.
![0 < Δ = (m − 9)2 − 4(m 2 − m + 16) = = m 2 − 18m + 81 − 4m 2 + 4m − 6 4 = − 3m 2 − 14m + 17 2 2 Δm = 1 4 + 4 ⋅3 ⋅17 = 4 00 = 20 14−--20- 14-+-20- 17- m 1 = − 6 = 1 , m 2 = − 6 = − 3 ( ) m ∈ − 17-,1 . 3](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR4x.gif)
Sprawdźmy jeszcze kiedy pierwiastkiem równania kwadratowego jest .
![2 0 = 9+ 3(m − 9)+ m − m + 16 0 = m 2 + 2m − 2 Δ = 4+ 8 =√12- √ -- − 2 − 2 3 √ -- − 2+ 2 3 √ -- m = -----------= − 1− 3 lub m = -----------= − 1 + 3. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR6x.gif)
Te dwie wartości będziemy też musieli usunąć ze zbioru rozwiązań.
Przy otrzymanych powyżej założeniach pierwiastki równania kwadratowego spełniają wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = −(m − 9) = 9 − m 2 x1x 2 = m − m + 16.](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR9x.gif)
Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci (przypomnienie – oznaczyliśmy ).
![2 2 2 3x 1x2 > x1 + x2 + 9 − 3m − 22 = (x1 + x2) − 2x 1x2 − 3m − 13 2 5x 1x2 − (x1 + x2) + 3m + 1 3 > 0 5 (m 2 − m + 16)− (9− m )2 + 3m + 13 > 0 2 4m + 16m + 12 > 0 / : 4 m 2 + 4m + 3 > 0.](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR11x.gif)
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.
![Δ = 1 6− 12 = 4 − 4− 2 − 4+ 2 m 1 = ------- = − 3, m2 = ------- = − 1 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (− 1,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR12x.gif)
Pozostało teraz połączyć wszystkie otrzymane warunki na .
![( 17 ) { √ -- √ -} m ∈ − ---,− 3 ∪ (− 1,1) ∖ − 1− 3,− 1+ 3 ( 3 ) 17- ( √ -) ( √ -- ) m ∈ − 3 ,− 3 ∪ − 1,− 1 + 3 ∪ − 1+ 3,1 .](https://img.zadania.info/zad/6498821/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: