/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 6498821

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x − 3)[x + (m − 9)x + m − m + 16] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 oraz x 3 , spełniające warunek

x1 ⋅x 2 ⋅x3 > x21 + x22 + x23 − 3m − 2 2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek x3 = 3 . Jeżeli równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, to równanie kwadratowe w drugim nawiasie musi mieć dwa różne rozwiązania x 1,x 2 (czyli Δ > 0 ) oraz żadne z tych rozwiązań nie może być równe 3. Sprawdźmy najpierw Δ –ę.

0 < Δ = (m − 9)2 − 4(m 2 − m + 16) = = m 2 − 18m + 81 − 4m 2 + 4m − 6 4 = − 3m 2 − 14m + 17 2 2 Δm = 1 4 + 4 ⋅3 ⋅17 = 4 00 = 20 14−--20- 14-+-20- 17- m 1 = − 6 = 1 , m 2 = − 6 = − 3 ( ) m ∈ − 17-,1 . 3

Sprawdźmy jeszcze kiedy pierwiastkiem równania kwadratowego jest x = 3 .

2 0 = 9+ 3(m − 9)+ m − m + 16 0 = m 2 + 2m − 2 Δ = 4+ 8 =√12- √ -- − 2 − 2 3 √ -- − 2+ 2 3 √ -- m = -----------= − 1− 3 lub m = -----------= − 1 + 3. 2 2

Te dwie wartości m będziemy też musieli usunąć ze zbioru rozwiązań.

Przy otrzymanych powyżej założeniach pierwiastki x1,x2 równania kwadratowego spełniają wzory Viète’a

{ x1 + x2 = −(m − 9) = 9 − m 2 x1x 2 = m − m + 16.

Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci (przypomnienie – oznaczyliśmy x3 = 3 ).

2 2 2 3x 1x2 > x1 + x2 + 9 − 3m − 22 = (x1 + x2) − 2x 1x2 − 3m − 13 2 5x 1x2 − (x1 + x2) + 3m + 1 3 > 0 5 (m 2 − m + 16)− (9− m )2 + 3m + 13 > 0 2 4m + 16m + 12 > 0 / : 4 m 2 + 4m + 3 > 0.

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.

Δ = 1 6− 12 = 4 − 4− 2 − 4+ 2 m 1 = ------- = − 3, m2 = ------- = − 1 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 3) ∪ (− 1,+ ∞ ).

Pozostało teraz połączyć wszystkie otrzymane warunki na m .

( 17 ) { √ -- √ -} m ∈ − ---,− 3 ∪ (− 1,1) ∖ − 1− 3,− 1+ 3 ( 3 ) 17- ( √ -) ( √ -- ) m ∈ − 3 ,− 3 ∪ − 1,− 1 + 3 ∪ − 1+ 3,1 .

 
Odpowiedź: ( 17 ) ( √ --) ( √ -- ) m ∈ − 3 ,− 3 ∪ − 1,− 1+ 3 ∪ − 1 + 3,1

Wersja PDF