Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6854996

Wielomian  3 2 W (x) = x + ax + bx+ c ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy − 2 . Oblicz współczynniki a, b i c wiedząc, że W (− 3) = − 48 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: m, m − 2 , m − 4 . Mamy zatem równość

W (x) = (x − m )(x − m + 2)(x − m + 4).

Warunek W (− 3) = − 48 jest więc równoważny równości

− 48 = W (− 3) = (− 3 − m )(− 3 − m + 2)(− 3− m + 4) − 48 = − (m + 3)(m + 1)(m − 1) = − (m + 3)(m 2 − 1) 48 = m 3 + 3m 2 − m − 3 3 2 m + 3m − m − 51 = 0.

Szukamy teraz miejsc zerowych powyższego wielomianu – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby 1 ,−1 ,3,− 3,... . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z miejsc zerowych jest m = 3 . Dzielimy teraz ten wielomian przez m − 3 . My zrobimy to grupując wyrazy.

 3 2 3 2 2 m + 3m − m − 51 = (m − 3m ) + (6m − 18m )+ 17m − 51 = = m2(m − 3) + 6m (m − 3 )+ 1 7(m − 3) = (m2 + 6m + 17)(m − 3).

Trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych (bo Δ < 0 ), więc jedynym rozwiązaniem jest m = 3 . Mamy wtedy

 2 3 2 W (x) = (x − 3)(x − 1 )(x+ 1) = (x − 3)(x − 1) = x − 3x − x+ 3.

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (− 3 ,− 1 ,3 )

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!