Zadanie nr 6854996
Wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy
. Oblicz współczynniki
i
wiedząc, że
.
Rozwiązanie
Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: . Mamy zatem równość
![W (x) = (x − m )(x − m + 2)(x − m + 4).](https://img.zadania.info/zad/6854996/HzadR1x.gif)
Warunek jest więc równoważny równości
![− 48 = W (− 3) = (− 3 − m )(− 3 − m + 2)(− 3− m + 4) − 48 = − (m + 3)(m + 1)(m − 1) = − (m + 3)(m 2 − 1) 48 = m 3 + 3m 2 − m − 3 3 2 m + 3m − m − 51 = 0.](https://img.zadania.info/zad/6854996/HzadR3x.gif)
Szukamy teraz miejsc zerowych powyższego wielomianu – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z miejsc zerowych jest
. Dzielimy teraz ten wielomian przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 m + 3m − m − 51 = (m − 3m ) + (6m − 18m )+ 17m − 51 = = m2(m − 3) + 6m (m − 3 )+ 1 7(m − 3) = (m2 + 6m + 17)(m − 3).](https://img.zadania.info/zad/6854996/HzadR7x.gif)
Trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych (bo ), więc jedynym rozwiązaniem jest
. Mamy wtedy
![2 3 2 W (x) = (x − 3)(x − 1 )(x+ 1) = (x − 3)(x − 1) = x − 3x − x+ 3.](https://img.zadania.info/zad/6854996/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: