Wielomian W(x)=x^3+ax^2+bx+c ma trzy pierwiastki rzeczywiste,... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 6854996

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stopnia 3

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 6854996

Wielomian $3 2 W (x) = x + ax + bx+ c$ ma trzy pierwiastki rzeczywiste, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $− 2$ . Oblicz współczynniki $a, b$ i $c$ wiedząc, że $W (− 3) = − 48$ .

Rozwiązanie

Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: $m, m − 2 , m − 4$ . Mamy zatem równość

W (x) = (x − m )(x − m + 2)(x − m + 4).

Warunek $W (− 3) = − 48$ jest więc równoważny równości

− 48 = W (− 3) = (− 3 − m )(− 3 − m + 2)(− 3− m + 4) − 48 = − (m + 3)(m + 1)(m − 1) = − (m + 3)(m 2 − 1) 48 = m 3 + 3m 2 − m − 3 3 2 m + 3m − m − 51 = 0.

Szukamy teraz miejsc zerowych powyższego wielomianu – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby $1 ,−1 ,3,− 3,...$ . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z miejsc zerowych jest $m = 3$ . Dzielimy teraz ten wielomian przez $m − 3$ . My zrobimy to grupując wyrazy.