Zadanie nr 7241047
Jednym z pierwiastków wielomianu stopnia trzeciego jest liczba 1, a suma pozostałych dwóch pierwiastków jest równa 0. Do wykresu tego wielomianu należy punkt
. Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu
przez dwumian
jest równa
, wyznacz wzór tego wielomianu.
Rozwiązanie
Z podanej informacji o pierwiastkach wiemy, że szukamy wielomianu postaci
![W (x) = a(x− 1)(x− b)(x + b) = a(x − 1 )(x 2 − b 2).](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR0x.gif)
Wiemy ponadto, że , co daje równanie
![2 1 = W (3) = a ⋅2 ⋅(9− b ). 2 1 = 2a(9 − b ).](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR2x.gif)
Reszta z dzielenia wielomianu przez
jest równa
(aby to zauważyć wystarczy podstawić
w równości
). Wiemy więc dodatkowo, że
, co daje drugie równanie
![− 2 = W (2) = a ⋅1⋅ (4− b 2) 2 − 2 = a(4− b ).](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR9x.gif)
Pozostało rozwiązać układ równań
![{ 2 1 = 2a(9− b ) − 2 = a (4− b 2)](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR10x.gif)
Dzielimy pierwsze równanie przez drugie (żeby pozbyć się ) i mamy
![2 − 1-= 2(9-−-b-)- 2 4− b2 − (4 − b2) = 4 (9− b 2) − 4 + b2 = 3 6− 4b2 2 5b = 40 / : 5 b 2 = 8.](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR12x.gif)
Zatem i wielomian
jest równy
![2 2 1- 2 1- 3 2 W (x ) = a(x − 1)(x − b ) = 2(x − 1)(x − 8) = 2(x − 8x − x + 8) = 1 1 = -x 3 − -x2 − 4x + 4. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7241047/HzadR15x.gif)
Odpowiedź: