/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 7583330

Pierwiastki równania  3 2 x + (m − 1)x + (m − 12)x + 8 = 0 z niewiadomą x tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz m oraz sumę kwadratów tych pierwiastków.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwiastkami wielomianu

W (x) = x 3 + (m − 1)x2 + (m − 12)x + 8

są liczby postaci a,aq,aq2 to musi on mieć postać

W (x ) = (x− a)(x − aq)(x − aq2).

Mamy w takim razie równość

x3 + (m − 1)x2 + (m − 12 )x+ 8 = (x − a)(x − aq)(x − aq 2).

Wymnażamy teraz prawą stronę.

 2 2 2 2 3 (x − a)(x − aq)(x − aq ) = (x− a)(x − (aq+ aq )x + a q ) = = x3 − (a+ aq + aq 2)x2 + (a2q3 + a2q+ a2q2)x− a3q3.

Mamy zatem

x 3+ (m − 1)x 2 + (m − 12)x + 8 = 3 2 2 2 3 2 2 2 3 3 = x − (a+ aq+ aq )x + (a q + a q+ a q )x− a q .

Porównujemy wyrazy wolne i mamy

(aq)3 = − 8 = (− 2)3 ⇒ aq = − 2.

To oznacza, że jednym z pierwiastków jest x = − 2 . Wstawiamy teraz tą wartość x do równania i obliczamy m .

0 = W (− 2) = − 8+ 4 (m − 1) − 2(m − 12) + 8 − 20 = 2m ⇒ m = − 10 .

Wyjściowe równanie ma więc postać

x3 − 11x2 − 22x + 8 = 0.

Szukamy teraz pozostałych pierwiastków tego równania – dzielimy lewą stronę przez (x + 2) .

 3 2 3 2 2 x − 11x − 22x + 8 = (x + 2x )− (13x + 26x )+ (4x + 8) = = x2(x + 2)− 13x(x + 2 )+ 4(x + 2) = = (x2 − 13x + 4)(x + 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian kwadratowy w pierwszym nawiasie.

 √ ---2 Δ = 169 − 16 = 1 53 = (3 17) √ --- √ --- x 1 = 13-−-3--17- lub x2 = 13-+-3--1-7. 2 2

Pierwiastki nie wyszły jakieś super eleganckie – ale zauważmy, że tak naprawdę mamy tylko obliczyć sumę ich kwadratów. Na mocy wzorów Viète’a wiemy, że

{ x 1 + x 2 = 13 x 1x2 = 4.

Stąd

x21 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x 2 = 169 − 8 = 16 1.

Suma kwadratów wszystkich rozwiązań wyjściowego równania jest więc równa

 2 2 2 x1 + x2 + (− 2) = 16 1+ 4 = 165.

Sposób II

Korzystamy ze wzorów Viète’a dla równania

 3 2 x + (m − 1)x + (m − 12)x + 8 = 0.

Mają one postać

( |{ − (m − 1) = x1 + x2 + x3 m − 12 = x x + x x + x x |( 1 2 2 3 3 1 − 8 = x1x2x3.

Jeżeli teraz założymy, że pierwiastki mają postać x1 = a , x 2 = aq , x = aq2 3 , to z ostatniego równania mamy

 2 3 3 3 − 8 = a ⋅aq ⋅aq = a q = (aq ) ⇒ x2 = aq = − 2.

Wstawiamy teraz x = − 2 do równania i obliczamy m .

 0 = W (− 2) = − 8 + 4(m − 1)− 2(m − 1 2)+ 8 − 20 = 2m ⇒ m = − 10.

Pierwsze dwa wzory Viète’a przyjmują więc postać

{ x 1 + x2 + x3 = − (m − 1) = 1 1 x 1x 2 + x 2x3 + x3x1 = m − 12 = − 22.

Zauważmy, że nic więcej nie potrzebujemy, żeby obliczyć sumę kwadratów pierwiastków.

x21 + x22 + x23 = (x 1 + x 2 + x 3)2 − 2x 1x2 − 2x2x3 − 2x3x1 = 2 = 1 1 − 2 ⋅(− 22) = 1 21+ 44 = 165 .

 
Odpowiedź: m = − 10 , x21 + x22 + x23 = 165

Wersja PDF
spinner