Zadanie nr 7651168
Dane są liczby wymierne i
takie, że równanie
ma dwa pierwiastki wymierne. Wykaż, że
i
są liczbami wymiernymi.
Rozwiązanie
Sposób I
Skoro dane równanie ma dwa pierwiastki wymierne i
to wielomian po lewej stronie równania musi mieć rozkład postaci
![ax 3 + bx 2 + cx + d = a(x − x1)(x − x 2)(x − x 3)](https://img.zadania.info/zad/7651168/HzadR2x.gif)
dla pewnej liczby rzeczywistej . Zauważmy, że po wymnożeniu nawiasów z prawej strony otrzymamy wielomian, którego współczynnik przy
jest równy
![−ax 1 − ax2 − ax3.](https://img.zadania.info/zad/7651168/HzadR5x.gif)
Z drugiej strony (patrząc na lewą stronę tej równości) jest on równy , co daje równanie
![− ax − ax − ax = b 1 2 3 b- x1 + x2 + x3 = − a .](https://img.zadania.info/zad/7651168/HzadR7x.gif)
Powyższa równość oznacza, że jest również liczbą wymierną. To z kolei oznacza, że wielomian
![a(x − x1)(x − x 2)(x− x3)](https://img.zadania.info/zad/7651168/HzadR9x.gif)
ma wszystkie współczynniki wymierne, czyli i
są liczbami wymiernymi.
Sposób II
Wielomian stopnia 3 ma zawsze 1 lub 3 pierwiastki rzeczywiste (licząc z krotnościami), więc dane równanie musi mieć 3 pierwiastki . Możemy więc zastosować wzory Viète’a dla równania stopnia 3.
![( | x 1 + x 2 + x 3 = − b { a -c | x 1x2 + x2x3 + x3x1 = a ( x 1x2x3 = − d. a](https://img.zadania.info/zad/7651168/HzadR13x.gif)
Jeżeli teraz założymy, że są liczbami wymiernymi, to z pierwszego z tych wzorów wynika, że
też jest liczbą wymierną. Wtedy jednak, na mocy dwóch pozostałych wzorów,
i
też są liczbami wymiernymi.