Zadanie nr 7670961
Wiedząc, że wielomian jest wielomianem stopnia 3 oraz 1 jest jego pierwiastkiem wyznacz
i
.
Rozwiązanie
Przekształćmy wzór wielomianu
![2 2 2 2 4 3 2 2 2 4 3 2 (x − bx) − (ax + x) + 5b + 5 = x − 2bx + b x − a x − 2ax − x + 5b + 5 = = (1 − a2)x4 − (2a + 2b)x3 + (b2 − 1)x2 + 5b + 5.](https://img.zadania.info/zad/7670961/HzadR0x.gif)
Skoro ma to być wielomian stopnia , to
oraz
(żeby współczynnik przy
był niezerowy). Ponieważ 1 ma być pierwiastkiem tego wielomianu
![1− a2 − 2a− 2b+ b2 − 1+ 5b+ 5 = 0 2 2 (1− a )+ b + 3b + 4− 2a = 0.](https://img.zadania.info/zad/7670961/HzadR5x.gif)
Uwzględniając fakt, że lub
mamy dwa równania
![2 b + 3b + 6 = 0 b2 + 3b + 2 = 0.](https://img.zadania.info/zad/7670961/HzadR8x.gif)
Pierwsze równanie nie ma rozwiązań, zatem i pozostało rozwiązać drugie równanie.
,
lub
. Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek
.
Odpowiedź: ,