/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 7670961

Wiedząc, że wielomian 2 2 2 2 (x − bx ) − (ax + x ) + 5b + 5 jest wielomianem stopnia 3 oraz 1 jest jego pierwiastkiem wyznacz a i b .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształćmy wzór wielomianu

2 2 2 2 4 3 2 2 2 4 3 2 (x − bx) − (ax + x) + 5b + 5 = x − 2bx + b x − a x − 2ax − x + 5b + 5 = = (1 − a2)x4 − (2a + 2b)x3 + (b2 − 1)x2 + 5b + 5.

Skoro ma to być wielomian stopnia 3 , to a = ± 1 oraz b ⁄= −a (żeby współczynnik przy x3 był niezerowy). Ponieważ 1 ma być pierwiastkiem tego wielomianu

1− a2 − 2a− 2b+ b2 − 1+ 5b+ 5 = 0 2 2 (1− a )+ b + 3b + 4− 2a = 0.

Uwzględniając fakt, że a = − 1 lub a = 1 mamy dwa równania

2 b + 3b + 6 = 0 b2 + 3b + 2 = 0.

Pierwsze równanie nie ma rozwiązań, zatem a = 1 i pozostało rozwiązać drugie równanie. Δ = 9 − 8 = 1 , b = − 1 lub b = − 2 . Tylko drugie z tych rozwiązań spełnia warunek b ⁄= −a .  
Odpowiedź: a = 1 , b = − 2

Wersja PDF