/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 7940380

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie

2 2 (x − 4 )[x + (m − 3)x + m − m − 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 oraz x 3 , spełniające warunek

x1 ⋅x 2 ⋅x3 > x21 + x22 + x23 − 5m − 5 1.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek x3 = 4 . Jeżeli równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, to równanie kwadratowe w drugim nawiasie musi mieć dwa różne rozwiązania x 1,x 2 (czyli Δ > 0 ) oraz żadne z tych rozwiązań nie może być równe 4. Sprawdźmy najpierw Δ –ę.

0 < Δ = (m − 3)2 − 4 (m 2 − m − 6) = = m 2 − 6m + 9 − 4m 2 + 4m + 24 = − 3m 2 − 2m + 33 2 Δm = 4 + 4 ⋅3⋅ 33 = 400 = 20 2-−-20- 2+-2-0- 11- m 1 = − 6 = 3, m 2 = − 6 = − 3 ( ) m ∈ − 11,3 . 3

Sprawdźmy jeszcze kiedy pierwiastkiem równania kwadratowego jest x = 4 .

0 = 16 + 4(m − 3) + m 2 − m − 6 2 0 = m + 3m − 2 Δ = 9 + 8 = 1 7 √ --- √ --- m = −-3-−---17- lub m = −-3+----17. 2 2

Te dwie wartości m będziemy też musieli usunąć ze zbioru rozwiązań.

Przy otrzymanych powyżej założeniach pierwiastki x1,x2 równania kwadratowego spełniają wzory Viète’a

{ x1 + x2 = −(m − 3) = 3 − m x1x 2 = m 2 − m − 6.

Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci (przypomnienie – oznaczyliśmy x3 = 4 ).

4x x > x2+ x2+ 16− 5m − 5 1 = (x + x )2 − 2x x − 5m − 35 1 2 1 2 1 2 1 2 6x1x2 − (x1 + x2)2 + 5m + 35 > 0 2 2 6(m − m − 6) − (3 − m ) + 5m + 35 > 0 5m 2 + 5m − 10 > 0 / : 5 m 2 + m − 2 > 0.

Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.

Δ = 1 + 8 = 9 m = −-1−--3 = − 2, m = −-1+--3 = 1 1 2 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (1,+ ∞ ).

Pozostało teraz połączyć wszystkie otrzymane warunki na m .

( ) { √ --- √ ---} m ∈ − 11,− 2 ∪ (1 ,3 )∖ −-3−----17, −-3-+--1-7 3 2 2 ( √ ---) ( √ --- ) 11-−-3-−---17- −-3-−---17- m ∈ − 3 , 2 ∪ 2 ,− 2 ∪ (1,3).

 
Odpowiedź: ( √ --) ( √-- ) m ∈ − 113 , −-3−2-17 ∪ −-3−2-17,− 2 ∪ (1 ,3 )

Wersja PDF