Zadanie nr 7940380
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 (x − 4 )[x + (m − 3)x + m − m − 6] = 0](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadT1x.gif)
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunek
![x1 ⋅x 2 ⋅x3 > x21 + x22 + x23 − 5m − 5 1.](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadT4x.gif)
Rozwiązanie
Podane równanie ma na pewno jeden pierwiastek . Jeżeli równanie ma mieć trzy różne pierwiastki, to równanie kwadratowe w drugim nawiasie musi mieć dwa różne rozwiązania
(czyli
) oraz żadne z tych rozwiązań nie może być równe 4. Sprawdźmy najpierw
–ę.
![0 < Δ = (m − 3)2 − 4 (m 2 − m − 6) = = m 2 − 6m + 9 − 4m 2 + 4m + 24 = − 3m 2 − 2m + 33 2 Δm = 4 + 4 ⋅3⋅ 33 = 400 = 20 2-−-20- 2+-2-0- 11- m 1 = − 6 = 3, m 2 = − 6 = − 3 ( ) m ∈ − 11,3 . 3](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR4x.gif)
Sprawdźmy jeszcze kiedy pierwiastkiem równania kwadratowego jest .
![0 = 16 + 4(m − 3) + m 2 − m − 6 2 0 = m + 3m − 2 Δ = 9 + 8 = 1 7 √ --- √ --- m = −-3-−---17- lub m = −-3+----17. 2 2](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR6x.gif)
Te dwie wartości będziemy też musieli usunąć ze zbioru rozwiązań.
Przy otrzymanych powyżej założeniach pierwiastki równania kwadratowego spełniają wzory Viète’a
![{ x1 + x2 = −(m − 3) = 3 − m x1x 2 = m 2 − m − 6.](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR9x.gif)
Interesującą nas nierówność możemy więc zapisać w postaci (przypomnienie – oznaczyliśmy ).
![4x x > x2+ x2+ 16− 5m − 5 1 = (x + x )2 − 2x x − 5m − 35 1 2 1 2 1 2 1 2 6x1x2 − (x1 + x2)2 + 5m + 35 > 0 2 2 6(m − m − 6) − (3 − m ) + 5m + 35 > 0 5m 2 + 5m − 10 > 0 / : 5 m 2 + m − 2 > 0.](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR11x.gif)
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.
![Δ = 1 + 8 = 9 m = −-1−--3 = − 2, m = −-1+--3 = 1 1 2 2 2 m ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (1,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR12x.gif)
Pozostało teraz połączyć wszystkie otrzymane warunki na .
![( ) { √ --- √ ---} m ∈ − 11,− 2 ∪ (1 ,3 )∖ −-3−----17, −-3-+--1-7 3 2 2 ( √ ---) ( √ --- ) 11-−-3-−---17- −-3-−---17- m ∈ − 3 , 2 ∪ 2 ,− 2 ∪ (1,3).](https://img.zadania.info/zad/7940380/HzadR14x.gif)
Odpowiedź: