Zadanie nr 8144601

Wyznacz wartość parametru , dla którego równanie

3 2 x + (m − 2)x + (6 − 2m )x − 12 = 0

ma trzy pierwiastki x 1,x2,x3 spełniające warunki x3 = −x 1 oraz x2 = x1 − 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Z podanych informacji wiemy, że dany wielomian musi mieć postać

(x − x )(x− x )(x − x ) = (x − x )(x− x + 1)(x+ x ) = 1 2 3 1 1 1 = (x2 − x21)(x − x1 + 1) = 3 2 2 2 3 2 = x − x x1 + x − x1x + x1 − x1 = = x3 + x2(1− x )− x⋅ x2+ (x3− x2). 1 1 1 1

Porównując teraz współczynniki ze współczynnikami danego wielomianu otrzymujemy układ równań

( |{ m − 2 = 1 − x1 2 |( 6 − 2m = −x 1 − 12 = x31 − x21.

(Układ ten mogliśmy też otrzymać stosując wzory Viète’a dla równania stopnia 3).

Możemy ten układ rozwiązać na różne sposoby, my podstawimy m = 3 − x1 z pierwszego równania do drugiego

2 6− 2(3− x1) = −x 1 x21 + 2x1 = 0 x1(x1 + 2) = 0.

Rozwiązanie x 1 = 0 jest sprzeczne z trzecim równaniem układu, zatem x1 = − 2 i mamy m = 3− x1 = 5 . Łatwo sprawdzić (choć nie musimy tego robić), że dla tych wartości wszystko jest OK, tzn. liczby x3 = 2 i x2 = − 3 spełniają zależności z treści zadania.

Sposób II

Na początku nie widać specjalnie jak się zabrać za to zadanie, więc spróbujmy zignorować to, że w równaniu jest parametr i poszukajmy pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając po kolei 1,-1,2,-2 można zauważyć, że x = 2 jest pierwiastkiem:

8 + 4(m − 2)+ 2(6− 2m )− 12 = 8 + 4m − 8+ 12− 4m − 12 = 0.

Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian (x − 2) – wykonujemy to dzielenie. My zrobimy to grupując wyrazy.

x 3 + (m − 2)x2 + (6 − 2m )x − 12 = (x3 − 2x2)+ mx 2 − 2mx + 6x− 12 = = x2(x− 2)+ mx (x− 2)+ 6(x − 2) = (x − 2)(x 2 + mx + 6).

Zastanówmy się teraz co dalej. Wiemy, że jeden z pierwiastków to x = 2 , ale nie wiemy który. Musimy więc rozważyć 3 przypadki.

Jeżeli x1 = 2 to z podanych równości mamy x3 = − 2 i x2 = 1 . To jednak nie jest możliwe, bo na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków trójmianu w nawiasie jest równy 6.

Jeżeli x2 = 2 to z podanych równości mamy x1 = 3 i x 3 = − 3 . Jak poprzednio, to nie jest możliwe, bo na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków trójmianu w nawiasie jest równy 6.