Zadanie nr 8144601
Wyznacz wartość parametru , dla którego równanie
![3 2 x + (m − 2)x + (6 − 2m )x − 12 = 0](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadT1x.gif)
ma trzy pierwiastki spełniające warunki
oraz
.
Rozwiązanie
Sposób I
Z podanych informacji wiemy, że dany wielomian musi mieć postać
![(x − x )(x− x )(x − x ) = (x − x )(x− x + 1)(x+ x ) = 1 2 3 1 1 1 = (x2 − x21)(x − x1 + 1) = 3 2 2 2 3 2 = x − x x1 + x − x1x + x1 − x1 = = x3 + x2(1− x )− x⋅ x2+ (x3− x2). 1 1 1 1](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR0x.gif)
Porównując teraz współczynniki ze współczynnikami danego wielomianu otrzymujemy układ równań
![( |{ m − 2 = 1 − x1 2 |( 6 − 2m = −x 1 − 12 = x31 − x21.](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR1x.gif)
(Układ ten mogliśmy też otrzymać stosując wzory Viète’a dla równania stopnia 3).
Możemy ten układ rozwiązać na różne sposoby, my podstawimy z pierwszego równania do drugiego
![2 6− 2(3− x1) = −x 1 x21 + 2x1 = 0 x1(x1 + 2) = 0.](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR3x.gif)
Rozwiązanie jest sprzeczne z trzecim równaniem układu, zatem
i mamy
. Łatwo sprawdzić (choć nie musimy tego robić), że dla tych wartości wszystko jest OK, tzn. liczby
i
spełniają zależności z treści zadania.
Sposób II
Na początku nie widać specjalnie jak się zabrać za to zadanie, więc spróbujmy zignorować to, że w równaniu jest parametr i poszukajmy pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego. Sprawdzając po kolei 1,-1,2,-2 można zauważyć, że jest pierwiastkiem:
![8 + 4(m − 2)+ 2(6− 2m )− 12 = 8 + 4m − 8+ 12− 4m − 12 = 0.](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR10x.gif)
Zatem wielomian jest podzielny przez dwumian – wykonujemy to dzielenie. My zrobimy to grupując wyrazy.
![x 3 + (m − 2)x2 + (6 − 2m )x − 12 = (x3 − 2x2)+ mx 2 − 2mx + 6x− 12 = = x2(x− 2)+ mx (x− 2)+ 6(x − 2) = (x − 2)(x 2 + mx + 6).](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR12x.gif)
Zastanówmy się teraz co dalej. Wiemy, że jeden z pierwiastków to , ale nie wiemy który. Musimy więc rozważyć 3 przypadki.
Jeżeli to z podanych równości mamy
i
. To jednak nie jest możliwe, bo na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków trójmianu w nawiasie jest równy 6.
Jeżeli to z podanych równości mamy
i
. Jak poprzednio, to nie jest możliwe, bo na mocy wzorów Viète’a iloczyn pierwiastków trójmianu w nawiasie jest równy 6.
Jeżeli natomiast to
oraz
i jest OK, bo iloczyn tych liczb to 6. Korzystając ponownie ze wzorów Viète’a mamy
![−m = x1 + x2 = −2 − 3 = − 5 ⇒ m = 5.](https://img.zadania.info/zad/8144601/HzadR23x.gif)
Możemy sprawdzić, że pierwiastkami równania rzeczywiście są liczby
i
.
Odpowiedź: