Zadanie nr 8700545
Dany jest wielomian . Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor
, przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu
.
Rozwiązanie
Jeżeli wykres wielomianu po przesunięciu o wektor
przechodzi przez punkt
, to wykres wielomianu przed przesunięciu musiał przechodzić przez punkt
(bo przesuwamy o 3 jednostki w lewo). Mamy zatem
.
![27 − 27m + 9m 2 − 3− 9m 2 + 2 0m + 4 = 0 28 = 7m ⇒ m = 4.](https://img.zadania.info/zad/8700545/HzadR5x.gif)
Wielomian ma więc wzór
![3 2 W (x) = x − 12x + 47x − 60.](https://img.zadania.info/zad/8700545/HzadR7x.gif)
Znamy ponadto jeden z pierwiastków tego wielomianu: . Dzielimy więc
przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![x3 − 12x2 + 47x − 60 = (x3 − 3x2)− (9x2 − 27x) + (20x − 60) = 2 2 = x (x − 3) − 9x(x − 3) + 20 (x− 3) = (x − 3)(x − 9x + 20 ).](https://img.zadania.info/zad/8700545/HzadR11x.gif)
Rozkładamy jeszcze trójmian w drugim nawiasie.
![Δ = 81 − 80 = 1 x = 9-−-1-= 4 ⇒ x = 9-+-1-= 5. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8700545/HzadR12x.gif)
Wielomian ma więc 3 pierwiastki:
.
Odpowiedź: