/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 8907877

Liczby 2 i − 3 są pierwiastkami wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + b . Wyznacz liczby a i b oraz trzeci pierwiastek wielomianu.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podstawiając podane pierwiastki do wzoru wielomianu otrzymujemy układ równań

{ 8+ 4a+ b = 0 − 27+ 9a + b = 0.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić b ) i mamy

− 27 + 9a + b − 8 − 4a − b = 0 5a = 35 ⇒ a = 7 .

Z pierwszego równania mamy więc b = − 8− 4a = − 8 − 28 = − 36 . Mamy więc do czynienia z wielomianem

W (x) = x 3 + 7x 2 − 3 6.

Wiemy, że wielomian ten jest podzielny przez

(x − 2)(x + 3) = x 2 + x − 6 .

Wykonujemy to dzielnie – my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 x + 7x − 36 = (x + x − 6x) + (6x + 6x − 36) = = x(x 2 + x − 6)+ 6 (x2 + x− 6) = (x2 + x − 6)(x + 6).

Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest więc x = − 6 .  
Odpowiedź: (a,b) = (7 ,−3 6), x = − 6

Wersja PDF