Zadanie nr 8938210

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie

Wiemy, że

0 = 1 + a + b + c = W (1 ).

Sposób I

Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: m , m + 3, m + 6 . Mamy zatem równość

W (x) = (x− m)(x − m − 3)(x − m − 6)

Warunek W (1) = 0 jest więc równoważny równości

0 = W (1) = (1− m )(1− m − 3)(1 − m − 6) 0 = (m − 1)(m + 2)(m + 5 ).

Mamy zatem trzy ciągi spełniające warunki zadania.

m = 1 ⇒ (1,4,7 ) m = − 2 ⇒ (− 2,1,4) m = − 5 ⇒ (− 5,− 2,1).

Pozostało obliczyć w każdym z powyższych przypadków współczynniki wielomianu.

2 3 2 (x − 1 )(x − 4)(x− 7) = (x − 5x + 4)(x − 7) = x − 12x + 39x − 28 (x + 2 )(x − 1)(x− 4) = (x2 + x − 2)(x − 4) = x3 − 3x2 − 6x + 8 2 3 2 (x + 5 )(x + 2)(x− 1) = (x + 7x + 10)(x − 1 ) = x + 6x + 3x − 10.

Sposób II

Wiemy, że W (1) = 0 , czyli jedynym z pierwiastków wielomianu jest x = 1 . Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to mamy trzy możliwe konﬁguracje pierwiastków