Zadanie nr 8938210
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki
i
. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Rozwiązanie
Wiemy, że
![0 = 1 + a + b + c = W (1 ).](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR0x.gif)
Sposób I
Pierwiastki wielomianu mogą być zapisane w postaci: . Mamy zatem równość
![W (x) = (x− m)(x − m − 3)(x − m − 6)](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR2x.gif)
Warunek jest więc równoważny równości
![0 = W (1) = (1− m )(1− m − 3)(1 − m − 6) 0 = (m − 1)(m + 2)(m + 5 ).](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR4x.gif)
Mamy zatem trzy ciągi spełniające warunki zadania.
![m = 1 ⇒ (1,4,7 ) m = − 2 ⇒ (− 2,1,4) m = − 5 ⇒ (− 5,− 2,1).](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR5x.gif)
Pozostało obliczyć w każdym z powyższych przypadków współczynniki wielomianu.
![2 3 2 (x − 1 )(x − 4)(x− 7) = (x − 5x + 4)(x − 7) = x − 12x + 39x − 28 (x + 2 )(x − 1)(x− 4) = (x2 + x − 2)(x − 4) = x3 − 3x2 − 6x + 8 2 3 2 (x + 5 )(x + 2)(x− 1) = (x + 7x + 10)(x − 1 ) = x + 6x + 3x − 10.](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR6x.gif)
Sposób II
Wiemy, że , czyli jedynym z pierwiastków wielomianu jest
. Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to mamy trzy możliwe konfiguracje pierwiastków
![(− 5,− 2,1), (− 2,1,4), (1,4,7).](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR9x.gif)
Pozostało obliczyć w każdym z powyższych przypadków współczynniki wielomianu.
![2 3 2 (x + 5)(x + 2)(x − 1 ) = (x + 7x + 10)(x − 1) = x + 6x + 3x − 10 (x + 2)(x − 1)(x − 4 ) = (x2 + x− 2)(x − 4) = x3 − 3x 2 − 6x + 8 2 3 2 (x − 1)(x − 4)(x − 7 ) = (x − 5x + 4)(x − 7) = x − 1 2x + 39x − 28.](https://img.zadania.info/zad/8938210/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: