/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 9012777

Wielomian 3 2 W (x) = ax + bx + cx+ d , gdzie a ⁄= 0 , ma dwa różne miejsca zerowe: x1 = − 2 oraz x2 = 3 , przy czym pierwiastek x2 jest dwukrotny. Dla argumentu 1 wartość wielomianu jest równa (− 12) .

  • Wyznacz wartości współczynników a,b,c,d .
  • Dla wyznaczonych współczynników rozwiąż nierówność W (x) ≥ 0 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanych miejsc zerowych wiemy, że wielomian musi mieć postać

2 W (x ) = a(x + 2)(x − 3) .

Współczynnik a wyznaczamy korzystając z podanej wartości W (1) = − 12 .

2 − 12 = a(1 + 2)(1 − 3) = 12a ⇒ a = − 1.

Zatem

W (x) = − (x + 2 )(x − 3)2.
  • Współczynniki b,c i d wyznaczymy wymnażając prawą stronę otrzymanego wzoru na W (x ) .
    −x 3 + bx 2 + cx+ d = − (x + 2)(x − 3)2 = = − (x + 2)(x2 − 6x + 9) = 3 2 2 = − (x − 6x + 9x + 2x − 1 2x+ 18) = = −x 3 + 4x2 + 3x − 18 .

    Zatem b = 4,c = 3 i d = −1 8 .  
    Odpowiedź: b = 4 ,c = 3,d = − 18

  • Musimy rozwiązać nierówność
    2 − (x + 2)(x − 3) ≥ 0 / ⋅(− 1) (x + 2)(x − 3 )2 ≤ 0.

    Jeżeli x ⁄= 3 to drugi składnik jest dodatni i pozostaje nierówność

    x+ 2 ≤ 0 ⇐ ⇒ x ≤ − 2.

    Z drugiej strony, dla x = 3 nierówność jest spełniona, co daje nam zbiór rozwiązań

    (− ∞ ,− 2⟩ ∪ {3}.

     
    Odpowiedź: (− ∞ ,− 2⟩ ∪ {3}

Wersja PDF