/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 9122359

Dany jest wielomian 3 W (x) = x + 4x + p , gdzie p > 0 jest liczbą pierwszą. Znajdź p wiedząc, że W (x) ma pierwiastek całkowity.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli podany wielomian ma mieć pierwiastek całkowity, to musi to być dzielnik wyrazu wolnego, czyli jedna z liczb − 1 ,1,−p ,p . Dla x = 1 lub x = p mamy W (x) > 0 , pozostaje więc sprawdzić co się dzieje dla x = − 1 i x = −p . Dla x = − 1 mamy

0 = − 1 − 4 + p ⇒ p = 5.

Dla x = −p mamy

3 3 2 0 = −p − 4p + p = −p − 3p = −p (p + 3),

co nie jest możliwe.  
Odpowiedź: p = 5

Wersja PDF