Pierwiastkami wielomianu W(x)=x^3-x^2+ax+b są tylko dwie liczby:... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 9164524

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 9164524

Pierwiastkami wielomianu $3 2 W (x ) = x − x + ax + b$ są tylko dwie liczby: 2 oraz (-3).

Rozwiązanie

Ponieważ $W (2) = W (− 3) = 0$ , mamy układ równań ${ 8− 4+ 2a+ b = 0 { − 27− 9− 3a+ b = 0 2a+ b = − 4 − 3a+ b = 36$
Odejmując od pierwszego równania drugie (żeby skrócić $b$ ), otrzymujemy $5a = − 4 0$ , czyli $a = −8$ . Stąd $b = 12$ .
Odpowiedź: $a = − 8$ , $b = 12$
Sposób I

Wiemy, że 2 i (-3) są pierwiastkami, dzielimy więc wielomian
$W (x) = x3 − x2 − 8x + 1 2$
przez $(x− 2)(x+ 3) = x2 + x − 6$ . My zrobimy to grupując czynniki
$x 3 − x 2 − 8x + 12 = 3 2 2 2 x + x − 6x − x + 6x− x − 8x + 12 = x (x2 + x− 6)− 2x2 − 2x + 12 = 2 (x + x − 6 )(x − 2) = (x − 2 )(x + 3)(x− 2).$

Sposób II

Skoro wiemy, że dany wielomian nie ma innych pierwiastków niż 2 i (-3), wystarczy sprawdzić, który z nich jest podwójny. Robi się to bardzo prosto przy pomocy pochodnej – pierwiastki wielokrotne są też pierwiastkami pochodnej. Fakt ten to proste zadanie na wzór na pochodną iloczynu. Liczymy
$′ 2 W (x ) = 3x − 2x − 8.$
Łatwo sprawdzić, że $W ′(2) = 0$ , co oznacza, że 2 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu $W (x)$ .
Odpowiedź: $W (x) = (x − 2 )2(x + 3)$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!