Zadanie nr 9453569
Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru równanie
![3 2 2 x − 6ax + 12a x + x − 18 = 0](https://img.zadania.info/zad/9453569/HzadT1x.gif)
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy wielomian z lewej strony równania przez , to
![lim f (x ) = − ∞ x→ −∞ lim f (x ) = + ∞ x→ +∞](https://img.zadania.info/zad/9453569/HzadR1x.gif)
(bo jest to wielomian stopnia 3). To oznacza, że równanie zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie. Liczymy teraz pochodną
![f′(x ) = 3x2 − 12ax + (12a2 + 1).](https://img.zadania.info/zad/9453569/HzadR2x.gif)
Ponadto
![Δ = (12a )2 − 1 2(12a2 + 1) = 12(12a 2 − 1 2a2 − 1) = − 12 < 0](https://img.zadania.info/zad/9453569/HzadR3x.gif)
To oznacza, że pochodna jest zawsze dodatnia, czyli funkcja jest rosnąca na całej swojej dziedzinie
. Zatem wartość 0 może przyjmować tylko w jednym punkcie.