Zadanie nr 9453569
Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru równanie

ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy wielomian z lewej strony równania przez , to

(bo jest to wielomian stopnia 3). To oznacza, że równanie zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie. Liczymy teraz pochodną

Ponadto

To oznacza, że pochodna jest zawsze dodatnia, czyli funkcja jest rosnąca na całej swojej dziedzinie
. Zatem wartość 0 może przyjmować tylko w jednym punkcie.