Zadanie nr 9662230
Sprawdź dla jakiego pierwiastki wielomianu
tworzą ciąg arytmetyczny?
Rozwiązanie
Sposób I
Spróbujmy przez chwilę nie przejmować się podanym warunkiem i normalnie sprawdźmy, czy podane równanie nie ma przypadkiem pierwiastka wymiernego. Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego znajdujemy pierwiastek . Dzielimy więc podany wielomian przez
. My zrobimy to grupując wyrazy.
![x3 − (m + 1)x2 + (m − 3)x+ 3 = (x3 − x2) − (mx 2 − mx ) − (3x − 3) = 2 (x − 1)(x − mx − 3).](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR2x.gif)
Zauważmy jeszcze, że równanie kwadratowe w drugim nawiasie ma zawsze dwa rozwiązania, bo
![Δ = m 2 + 12 > 0.](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR3x.gif)
Na mocy wzorów Viète’a pierwiastki tego równania spełniają warunki
![{ x1 + x2 = m x1x2 = − 3.](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR5x.gif)
Z drugiego warunku wynika, że liczby i
różnią się znakiem, co oznacza, że wyjściowy wielomian ma dwa pierwiastki dodatnie (powiedzmy 1 i
) i jeden ujemny
. Wiemy, że liczby te tworzą ciąg arytmetyczny, ale nie wiemy w jakiej dokładnie kolejności – są możliwe dwie sytuacje:
i
.
Zauważmy, że druga sytuacja prowadzi do sprzeczności, bo wtedy , co na mocy wzorów Viète’a oznacza, że
. To jednak nie jest możliwe, bo wtedy
, a
.
Arytmetyczny jest więc ciąg , co możemy zapisać w postaci
![x + x 1 = -1----2- 2 1 = m- ⇐ ⇒ m = 2. 2](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR17x.gif)
Możemy sprawdzić (choć nie musimy), że dla dany wielomian ma pierwiastki:
.
Sposób II
Okazuje się, że podobnie jak dla równania kwadratowego, istnieją wzory Viète’a dla równań wyższych stopni. Dla równania stopnia 3 mają one postać
![b- x1 + x2 + x3 = − a c- x1x 2 + x 2x3 + x3x1 = a d x1x 2x3 = − --. a](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR20x.gif)
gdzie są pierwiastkami równania
. Wzory te łatwo uzasadnić porównując współczynniki po obu stronach równości
![3 2 ax + bx + cx + d = a(x− x1)(x − x2)(x − x3).](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR23x.gif)
Załóżmy, że pierwiastki danego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny, tzn.
Na mocy powyższych wzorów mamy
![( |{ m + 1 = x1 + x2 + x3 = 3x 2 ⇒ x2 = m-+1. 3 | m − 3 = x1x2 + x2x3 + x3x 1 ( − 3 = x1x2x 3](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR26x.gif)
Mnożymy teraz drugie równanie przez i korzystamy z dwóch pozostałych równań.
![x (m − 3) = x2(x + x ) + x x x = x2 ⋅2x − 3 2 2 1 ( 3 1) 2 3 2 2 m + 1 m + 1 3 --3--- ⋅(m − 3 ) = 2 --3--- − 3 / ⋅27 9(m + 1)(m − 3 ) = 2(m + 1 )3 − 81 2 3 2 9m − 18m − 27 = 2m + 6m + 6m + 2 − 81 0 = 2m 3 − 3m 2 + 24m − 52.](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR28x.gif)
Szukamy teraz pierwiastków wymiernych tego wielomianu – można sprawdzić, że jednym z nich jest . Dzielimy zatem ten wielomian przez
. Zrobimy to grupując wyrazy.
![2m 3 − 3m 2 + 24m − 52 = (2m 3 − 4m 2) + (m 2 − 2m )+ (2 6m − 52 ) = 2 2 = 2m (m − 2)+ m (m − 2)+ 26(m − 2) = (m − 2)(2m + m + 26).](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR31x.gif)
Łatwo sprawdzić, że trójmian w drugim nawiasie nie ma pierwiastków, więc jedynym rozwiązaniem jest . Mamy wtedy
i wyjściowy wielomian przyjmuje postać
![x 3 − 3x 2 − x+ 3 = (x3 − x) − 3(x2 − 1) = x (x2 − 1)− 3(x2 − 1) = (x − 3)(x − 1)(x + 1).](https://img.zadania.info/zad/9662230/HzadR34x.gif)
Pierwiastkiem tego wielomianu są więc liczby , które oczywiście tworzą ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź: