W czworokącie ABCD przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Wektory, 3335440

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Geometria analityczna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 3335440

W czworokącie $ABCD$ przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych $P = (− 3,7)$ w taki sposób, że $|P C| : |AP | = |PD | : |BP | = 1 : 3$ . Wiedząc, że $− → AC = [4,6]$ i $−→ BD = [− 10,− 2]$ , oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Z podanych informacji wiemy, że

−→ −→ [ ] AP = 3-AC = 3-[4 ,6] = 3, 9 . 4 4 2 [ 9] [− 3 − xA ,7− yA] = 3 ,-- { 2 − 3− x = 3 ⇒ x = −6 A 9 A 5 7− yA = 2 ⇒ yA = 2.

Zatem $A = (− 6, 52)$ .

Podobnie obliczamy współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.

[ ] −→ 5- [4,6] = AC = xC + 6,yC − 2 { 4 = xC + 6 ⇒ xC = − 2 5 17 6 = yC − 2 ⇒ yC = 2 .

Zatem $17 C = (− 2,2-)$ .

−→ 3−→ 3 [ 1 5 3] BP = -BD = -[− 10,− 2] = − ---,− -- . 4 4 [ ] 2 2 15- 3- [− 3− xB,7 − yB ] = − 2 ,− 2 { −3 − xB = − 152 ⇒ xB = 92 3 17 7− yB = − 2 ⇒ yB = 2 .

Zatem $9 17 B = (2,-2 )$ i pozostało obliczyć wierzchołek $D$ .

−→ [ ] [−1 0,− 2] = BD = xD − 9-,yD − 17- 2 2 { 9 11- − 10 = xD − 2 ⇒ xD = − 2 − 2 = yD − 172 ⇒ yD = 132 .

Zatem $D = (− 11, 13) 2 2$ .

Fakt, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem uzasadnimy na dwa sposoby.

Sposób I

Z treści zadania wiemy, że $AP = 3PC$ i $BP = 3P D$ . To oznacza, że trójkąty $ABP$ i $CP D$ są podobne w skali 3:1 (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku $P$ ). Zatem