Zadanie nr 3335440
W czworokącie przekątne przecinają się w punkcie o współrzędnych
w taki sposób, że
. Wiedząc, że
i
, oblicz współrzędne wierzchołków tego czworokąta. Uzasadnij, że czworokąt
jest trapezem.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Z podanych informacji wiemy, że
![−→ −→ [ ] AP = 3-AC = 3-[4 ,6] = 3, 9 . 4 4 2 [ 9] [− 3 − xA ,7− yA] = 3 ,-- { 2 − 3− x = 3 ⇒ x = −6 A 9 A 5 7− yA = 2 ⇒ yA = 2.](https://img.zadania.info/zad/3335440/HzadR1x.gif)
Zatem .
Podobnie obliczamy współrzędne pozostałych wierzchołków czworokąta.
![[ ] −→ 5- [4,6] = AC = xC + 6,yC − 2 { 4 = xC + 6 ⇒ xC = − 2 5 17 6 = yC − 2 ⇒ yC = 2 .](https://img.zadania.info/zad/3335440/HzadR3x.gif)
Zatem .
![−→ 3−→ 3 [ 1 5 3] BP = -BD = -[− 10,− 2] = − ---,− -- . 4 4 [ ] 2 2 15- 3- [− 3− xB,7 − yB ] = − 2 ,− 2 { −3 − xB = − 152 ⇒ xB = 92 3 17 7− yB = − 2 ⇒ yB = 2 .](https://img.zadania.info/zad/3335440/HzadR5x.gif)
Zatem i pozostało obliczyć wierzchołek
.
![−→ [ ] [−1 0,− 2] = BD = xD − 9-,yD − 17- 2 2 { 9 11- − 10 = xD − 2 ⇒ xD = − 2 − 2 = yD − 172 ⇒ yD = 132 .](https://img.zadania.info/zad/3335440/HzadR8x.gif)
Zatem .
Fakt, że czworokąt jest trapezem uzasadnimy na dwa sposoby.
Sposób I
Z treści zadania wiemy, że i
. To oznacza, że trójkąty
i
są podobne w skali 3:1 (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku
). Zatem

co oznacza, że proste i
są równoległe.
Sposób II
Wystarczy wykazać, że wektory i
są równoległe. Liczymy
![−→ [ 11 1 7 13 ] [7 ] DC = − 2+ --,---− --- = --,2 [ 2 2 ] 2 [ 2] −→ 9 17 5 21 AB = --+ 6,---− -- = ---,6 . 2 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3335440/HzadR21x.gif)
Widać stąd, że , co kończy dowód.
Odpowiedź: