/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 4338487

W prostokącie ABCD dany jest wierzchołek C (3;4) oraz −→ AB = [4;3] . Znajdź równania przekątnych wiedząc, że wierzchołek A należy do prostej x − y = 5 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Ponieważ −→ −→ AB = DC możemy łatwo wyliczyć współrzędne wierzchołka D .

−→ DC = [4 ,3] = C − D = [3− xD ,4 − yD ] { 4 = 3− xD ⇒ xD = − 1 3 = 4− yD ⇒ yD = 1 .

Zatem D = (− 1,1) . Mając współrzędne punkt D możemy teraz napisać równanie prostej DA (jest prostopadła do DC ) i przechodzi przez D . To z kolei pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu A (bo wiemy, że leży on też na prostej x− y = 5 ). Równanie prostej DA napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [4,3] i P = D = (−1 ,1) . Prosta DA ma więc równanie

4(x + 1) + 3(y − 1) = 0 4x + 3y + 1 = 0.

Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z daną prostą x − y = 5 . Podstawiamy x = y + 5 do powyższego równania.

4(y + 5) + 3y + 1 = 0 7y = −2 1 ⇒ y = − 3.

Stąd x = y + 5 = 2 i A = (2,− 3) . Teraz już łatwo obliczyć współrzędne wierzchołka B .

−→ [4,3] = AB = B − A = [xB − 2,yB + 3].

Stąd B = (6,0) .

Pozostało napisać równania prostych AC i BD . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB,yB ) :

y − y y − yA = -B-----A(x − xA ). xB − xA

Najpierw prosta AC

4 + 3 y + 3 = -----(x − 2) 3 − 2 y = 7x − 14 − 3 = 7x − 17.

Teraz prosta BD

1 − 0 y − 0 = -------(x − 6) − 1 − 6 y = − 1x + 6. 7 7

 
Odpowiedź: y = 7x− 17 i y = − 1 x+ 6 7 7

Wersja PDF