Zadanie nr 4338487
W prostokącie dany jest wierzchołek
oraz
. Znajdź równania przekątnych wiedząc, że wierzchołek
należy do prostej
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Ponieważ możemy łatwo wyliczyć współrzędne wierzchołka
.
![−→ DC = [4 ,3] = C − D = [3− xD ,4 − yD ] { 4 = 3− xD ⇒ xD = − 1 3 = 4− yD ⇒ yD = 1 .](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR3x.gif)
Zatem . Mając współrzędne punkt
możemy teraz napisać równanie prostej
(jest prostopadła do
) i przechodzi przez
. To z kolei pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu
(bo wiemy, że leży on też na prostej
). Równanie prostej
napiszemy korzystając ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora
i przechodzącej przez punkt
![p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR14x.gif)
W naszej sytuacji mamy i
. Prosta
ma więc równanie
![4(x + 1) + 3(y − 1) = 0 4x + 3y + 1 = 0.](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR18x.gif)
Szukamy teraz punktu wspólnego tej prostej z daną prostą . Podstawiamy
do powyższego równania.
![4(y + 5) + 3y + 1 = 0 7y = −2 1 ⇒ y = − 3.](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR21x.gif)
Stąd i
. Teraz już łatwo obliczyć współrzędne wierzchołka
.
![−→ [4,3] = AB = B − A = [xB − 2,yB + 3].](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR25x.gif)
Stąd .
Pozostało napisać równania prostych i
. Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
i
:
![y − y y − yA = -B-----A(x − xA ). xB − xA](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR31x.gif)
Najpierw prosta
![4 + 3 y + 3 = -----(x − 2) 3 − 2 y = 7x − 14 − 3 = 7x − 17.](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR33x.gif)
Teraz prosta
![1 − 0 y − 0 = -------(x − 6) − 1 − 6 y = − 1x + 6. 7 7](https://img.zadania.info/zad/4338487/HzadR35x.gif)
Odpowiedź: i