/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 5653439

Na bokach AB i AC trójkąta ABC wybrano punkty E i D w ten sposób, że |AE | = 2|EB | i |AD | = |DC | . Punkt M jest punktem wspólnym odcinków CE i BD .

PIC

  • Przedstaw każdy z wektorów −→ − → BC ,BD oraz −→ CE w postaci → p ⋅b + q ⋅→c , gdzie → −→ → b = AB ,→c = AC oraz p,q ∈ R .
  • Korzystając z równości −→ −→ −→ BC + CM = BM oblicz w jakim stosunku punkt M dzieli odcinki BD i CE .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Liczymy
    −→ −→ −→ −→ −→ → → BC = BA + AC = − AB + AC = − b + c −→ − → → → 1-→ → 1-→ BD = BA + AD = − AB + 2AC = − b + 2 c −→ −→ −→ −→ −→ → CE = CA + AE = − AC + 2AB = − →c + 2b . 3 3

     
    Odpowiedź: −→ → → → −→ → BC = − b + →c ,BD = − b + 1→c ,CE = 2 b − →c 2 3

  • Powiedzmy, że −→ −→ CM = xCE i −→ −→ BM = yBD . Wstawiając te wyrażenia do podanej równości i korzystając z poprzedniego podpunktu mamy
    −→ −→ −→ BC + CM = BM −→ − → −→ BC + xCE = yBD → → ( 2→ → ) ( 1 → → ) c − b + x --b − c = y --c − b 3 2 → → 1- → → 2- → → c − x c − 2y c = b − 3 xb − yb ( ) ( ) → 1 − x − 1y →c = 1 − 2-x− y b . 2 3

    Wektory → b i → c nie są jednak równoległe, co oznacza, że liczby w nawiasach w powyższej równości muszą być równe 0 (inaczej jeden wektor byłby wielokrotnością drugiego, co nie jest możliwe). Mamy stąd

    { 1 − x − 1y = 0 2 2 1 − 3x − y = 0

    Podstawiamy x = 1 − 1y 2 z pierwszego równania do drugiego i mamy

    1 − 2+ 1y − y = 0 3 3 1 2 1 --= --y ⇒ y = -. 3 3 2

    Zatem

    x = 1 − 1y = 1 − 1-= 3-. 2 4 4

    Mamy więc BM = MD i CM = 3ME .  
    Odpowiedź: BM = MD i CM = 3ME

Wersja PDF