/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 6347587

Punkt P jest punktem wspólnym przekątnych trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD oraz −→ −→ −→ D = (1 0,− 9),AB = [12,21],CB = [0,13],CP = [− 3,− 2] . Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że trójkąty ABP i CDP są podobne (mają równe kąty) – oznaczmy skalę ich podobieństwa przez k . Zauważmy, że z podanych wektorów możemy wyliczyć k . Rzeczywiście, wiemy, że

−→ −→ −→ CA = CB + BA = [0,13]+ [− 12 ,−2 1] = [− 12 ,−8 ].

Zatem

−→ AP AC − P C AC |CA | k = ----= ----------= ----− 1 = -−→--− 1 = P C P C P C |CP | √ --2----2- √ -2----2 = -√12--+-8--− 1 = 4√--3-+--2--− 1 = 3. 32 + 2 2 32 + 22

W takim razie

−→ 1-−→ 1- DC = 3AB = 3[12,2 1] = [4,7 ].

To z kolei pozwala wyliczyć współrzędne punktu C .

−→ [4,7] = DC = [xc − 10,yc + 9] ⇒ C = (14,− 2).

Teraz wyliczamy współrzędne punktów B i A .

−→ [0,13] = CB = [xb − 14,yb + 2 ] ⇒ B = (14,11 ) −→ [12,21] = AB = [14− xa,11 − ya] ⇒ A = (2,− 10).

 
Odpowiedź: A = (2,− 10),B = (14,11),C = (14,− 2)

Wersja PDF