Zadanie nr 8185465

W czworokącie ABCD dane są −→ −→ AB = [6,− 3], DA = [− 8,− 7] oraz środek S = (3,2) przekątnej . Wyznacz współrzędne rzutu prostopadłego punktu na prostą .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Powinno być jasne, że jeżeli są ustalone wektory − → AB i → DA oraz środek odcinka , to jednoznacznie da się wyliczyć współrzędne punktów A ,B ,D . Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy A = (x,y) to mamy

−→ [6,− 3] = AB = [xB − x,yB − y] ⇒ B = (xB,yB ) = (x+ 6,y − 3) − → [− 8,− 7] = DA = [x− xD ,y − yD ] ⇒ D = (xD ,yD ) = (x+ 8,y+ 7).

Teraz wystarczy skorzystać z podanego środka odcinka .

( ) S = (3,2) = B-+--D-= x-+-6-+-x-+-8, y−--3+--y+--7- = (x+ 7,y + 2). 2 2 2

Zatem A = (x,y) = (− 4,0) oraz B = (x + 6,y − 3 ) = (2,− 3) i D = (x + 8 ,y + 7 ) = (4,7) .

Zastanówmy się co dalej. Szukany rzut punktu na prostą to punkt wspólny tej prostej oraz prostej prostopadłej do i przechodzącej przez . Taki jest plan: napiszemy równania obu tych prostych i znajdziemy ich punkt wspólny .

Równanie prostej można wyznaczyć wprost z układu równań, można je też napisać używając wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. My jednak, dla urozmaicenia, napiszemy je używając postaci parametrycznej. Wszystkie punkty prostej są postaci