Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8185465

W czworokącie ABCD dane są −→ −→ AB = [6,− 3], DA = [− 8,− 7] oraz środek S = (3,2) przekątnej DB . Wyznacz współrzędne rzutu prostopadłego punktu D na prostą AB .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Powinno być jasne, że jeżeli są ustalone wektory − → AB i  → DA oraz środek odcinka DB , to jednoznacznie da się wyliczyć współrzędne punktów A ,B ,D . Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy A = (x,y) to mamy

 −→ [6,− 3] = AB = [xB − x,yB − y] ⇒ B = (xB,yB ) = (x+ 6,y − 3) − → [− 8,− 7] = DA = [x− xD ,y − yD ] ⇒ D = (xD ,yD ) = (x+ 8,y+ 7).

Teraz wystarczy skorzystać z podanego środka odcinka BD .

 ( ) S = (3,2) = B-+--D-= x-+-6-+-x-+-8, y−--3+--y+--7- = (x+ 7,y + 2). 2 2 2

Zatem A = (x,y) = (− 4,0) oraz B = (x + 6,y − 3 ) = (2,− 3) i D = (x + 8 ,y + 7 ) = (4,7) .

Zastanówmy się co dalej. Szukany rzut P punktu D na prostą AB to punkt wspólny tej prostej oraz prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez D . Taki jest plan: napiszemy równania obu tych prostych i znajdziemy ich punkt wspólny P .

Równanie prostej AB można wyznaczyć wprost z układu równań, można je też napisać używając wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. My jednak, dla urozmaicenia, napiszemy je używając postaci parametrycznej. Wszystkie punkty prostej AB są postaci

 −→ (x,y) = A + t⋅AB = (− 4,0) + t[6 ,−3 ] = (− 4 + 6t,− 3t), gdzie t ∈ R

Mamy więc

{ x = − 4 + 6t y = − 3t.

Równanie prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt D napiszemy korzystając ze wzoru

a(x − x 0) + b(y − y 0) = 0

na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [a,b] i przechodzącej przez punkt K = (x0,y0) .

W naszej sytuacji mamy → −→ v = AB = [6,− 3] oraz K = D = (4,7) . Zatem równanie prostej DP ma postać

6(x − 4)− 3(y − 7) = 0 / : 3 2x − 8 − y + 7 = 0 y = 2x − 1.

Pozostało znaleźć jej punkt wspólny z prostą { x = − 4 + 6t y = − 3t. Podstawiamy wartości x i y do równania i mamy

− 3t = 2(− 4+ 6t) − 1 − 3t = −8 + 12t − 1 3 9 = 15t ⇒ t = --. 5

Daje to nam punkt

 ( 18 9) ( 2 9 ) P = (− 4 + 6t,− 3t) = − 4+ --,− -- = − -,− -- . 5 5 5 5

 
Odpowiedź: ( ) − 25,− 95

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!