W czworokącie ABCD dane są {AB}=[6,-3], {DA}=[-8,-7] oraz środek... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Wektory, 8185465

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Geometria analityczna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 8185465

W czworokącie $ABCD$ dane są $−→ −→ AB = [6,− 3], DA = [− 8,− 7]$ oraz środek $S = (3,2)$ przekątnej $DB$ . Wyznacz współrzędne rzutu prostopadłego punktu $D$ na prostą $AB$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Powinno być jasne, że jeżeli są ustalone wektory $− → AB$ i $→ DA$ oraz środek odcinka $DB$ , to jednoznacznie da się wyliczyć współrzędne punktów $A ,B ,D$ . Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy $A = (x,y)$ to mamy

−→ [6,− 3] = AB = [xB − x,yB − y] ⇒ B = (xB,yB ) = (x+ 6,y − 3) − → [− 8,− 7] = DA = [x− xD ,y − yD ] ⇒ D = (xD ,yD ) = (x+ 8,y+ 7).

Teraz wystarczy skorzystać z podanego środka odcinka $BD$ .

( ) S = (3,2) = B-+--D-= x-+-6-+-x-+-8, y−--3+--y+--7- = (x+ 7,y + 2). 2 2 2

Zatem $A = (x,y) = (− 4,0)$ oraz $B = (x + 6,y − 3 ) = (2,− 3)$ i $D = (x + 8 ,y + 7 ) = (4,7)$ .

Zastanówmy się co dalej. Szukany rzut $P$ punktu $D$ na prostą $AB$ to punkt wspólny tej prostej oraz prostej prostopadłej do $AB$ i przechodzącej przez $D$ . Taki jest plan: napiszemy równania obu tych prostych i znajdziemy ich punkt wspólny $P$ .

Równanie prostej $AB$ można wyznaczyć wprost z układu równań, można je też napisać używając wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. My jednak, dla urozmaicenia, napiszemy je używając postaci parametrycznej. Wszystkie punkty prostej $AB$ są postaci