/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Wektory

Zadanie nr 8690556

Dane są wektory → a = [1,− 2] , → b = [− 2,− 1] , → c = [3,4] . Dobierz wartości parametrów p ,q ∈ R tak, aby wektory −→ → AB = p a , −→ → BC = qb i −→ → CA = c tworzyły trójkąt ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli wektory − → AB , −→ BC i −→ CA tworzą trójkąt, to

−→ −→ −→ → AB + BC + CA = 0 .

Mamy zatem

→ → → → 0 = pa + qb + c [0,0] = p[1,− 2]+ q[− 2,− 1]+ [3 ,4] = [p − 2q + 3,− 2p− q+ 4].

Otrzymujemy stąd układ równań

{ p − 2q+ 3 = 0 − 2p − q+ 4 = 0

Dodajemy do drugiego równania pierwsze pomnożone przez 2 (żeby skrócić p ) i mamy

− q− 4q+ 4+ 6 = 0 10 = 5q ⇒ q = 2.

Stąd p = 2q − 3 = 1 .  
Odpowiedź: (p,q) = (1,2)

Wersja PDF