Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9753089

Punkty K , L , M są środkami boków BC ,CA i AB trójkąta ABC . Wykaż, że

− → − → −→ → AK + BL + CM = 0.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Spróbujemy wyznaczyć wektory  −→ −→ −→ AK ,BL ,CM w zależności od wektorów utworzonych z boków trójkąta.

Sposób I

Oznaczmy  −→ → AB = a oraz  −→ → AC = b . Mamy wtedy

−→ −→ −→ → 1 → CM = CA + AM = − b + --a 2 −→ −→ −→ → 1→ BL = BA + AL = − a + 2 b − → −→ −→ → 1 −→ → 1 −→ −→ AK = AC + CK = b + --CB = b + -(CA + AB ) = 2 2 → 1- → → 1→ 1→ = b + 2(− b + a) = 2 a + 2 b.

Mamy zatem

 → → → A−K→ + −B→L + C−M→ = − b + 1-→a − →a + 1-b + 1-→a + 1-b = 0. 2 2 2 2

Sposób II

Liczymy

 −→ − → −→ −→ 1 −→ CM = CA + AM = CA + --AB −→ −→ −→ −→ 2−→ BL = BC + CL = BC + 1-CA 2 −→ −→ −→ −→ 1−→ AK = AB + BK = AB + -BC . 2

Mamy zatem

−→ −→ −→ −→ 1-−→ −→ 1-−→ −→ 1− → AK + BL + CM = CA + 2 AB + BC + 2CA + AB + 2BC = −→ −→ −→ −→ = 3-(AB + BC + CA ) = 3-AA = 0. 2 2

Sposób III

Umieśćmy trójkąt ABC w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0),B = (2b,0),C = (2c1,2c2) .


PIC

Mamy wtedy

 B-+--C K = 2 = (b+ c1,c2) A + C L = -------= (c1,c2) 2 M = A-+--B-= (b,0). 2

Zatem

 −→ −→ −→ AK + BL + CM = [b + c1,c2]+ [c1 − 2b,c2]+ [b − 2c1,− 2c2] = [0,0].

Sposób IV

Liczymy utożsamiając działania na punktach z działaniami na wektorach.

−→ −→ −→ AK + BL + CM = K − A + L − B + M − C = B-+-C- A-+-C-- A-+-B-- = 2 − A + 2 − B + 2 − C = 0 .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!