/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Kąty

Zadanie nr 5166171

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r , a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C , a ponadto √ -- |AC | = r 3 . Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120∘ .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy promień SC i niech D będzie środkiem cięciwy AC .

PIC

Styczna BC jest prostopadła do promienia SC , więc

∡SCB = 90∘.

Ponadto

1 1 √ -- √ -- cos ∡SCD = DC--= 2AC--= 2-⋅r--3-= --3. SC SC r 2

To oznacza, że ∡SCD = 30∘ i

∡ACB = ∡SCD + ∡SCB = 3 0∘ + 9 0∘ = 120∘.
Wersja PDF