/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Kąty

Zadanie nr 5482345

Dany jest okrąg o środku w punkcie O . Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L , a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31∘ .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki LO i LN , gdzie N jest drugim końcem średnicy wyznaczonej przez M i O .

PIC

Trójkąt KLO jest prostokątny (bo styczna KL jest prostopadła do promienia OL poprowadzonego do punktu styczności). Zatem

∡LOK = 90∘ − 28∘ = 62∘.

Sposób I

Interesujący nas kąt wpisany LMN jest oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy LON , zatem

1- 1- ∘ ∘ ∡LMN = 2∡LON = 2 ⋅ 62 = 31 .

Sposób II

Trójkąt MOL jest równoramienny, więc

180∘-−-∡MOL---- ∡NOL--- 62-∘ ∘ ∡OML = 2 = 2 = 2 = 31 .

Sposób III

Trójkąt NOL jest równoramienny, a trójkąt NML jest prostokątny, więc

∘ ∘ ∘ ∡ONL = 180--−-∡NOL----= 180--−-62--= 59∘ 2 2 ∡NML = 90∘ − ∡ONL = 90∘ − 59∘ = 3 1∘.
Wersja PDF