/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Kąty

Zadanie nr 5571066

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r , a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C , a ponadto |AC | = 2rco s20∘ . Wykaż, że kąt ABC ma miarę 50∘ .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy promień SC i niech D będzie środkiem cięciwy AC .

PIC

Styczna BC jest prostopadła do promienia SC , więc

∡SCB = 90∘.

Ponadto

1 1 ∘ cos∡SCD = DC-- = 2AC--= 2-⋅2rco-s20--= cos20 ∘. SC SC r

To oznacza, że ∡SCD = 20∘ i

∘ ∘ ∘ ∡ACB = ∡SCD + ∡SCB = 20 + 90 = 1 10 ∡ABC = 180 ∘ − ∡BAC − ∡ACB = 180∘ − 20∘ − 110∘ = 50∘.
Wersja PDF