Zadanie nr 5368593

Wyznacz równanie symetralnej odcinka , gdzie A = (− 3;4) i B = (2;− 1) .

Rozwiązanie

Zaczynamy od obrazka.

Sposób I

Symetralna to zbiór punktów M = (x ,y) , które są równoodległe od obu końców odcinka. Punkty spełniają więc równanie

AM 2 = BM 2 2 2 2 2 (x + 3 ) + (y − 4) = (x− 2) + (y + 1 ) x 2 + 6x + 9+ y2 − 8y+ 16 = x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 − 10y = − 10x − 20 / : (− 10) y = x + 2.

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x ,y ) 0 0

p(x − x0) + q(y − y0) = 0 .

W naszej sytuacji mamy

→ →v = AB = [2 + 3,− 1 − 4] = [5,− 5]

oraz ( ) ( ) P = −-3+-2, 4−1 = − 1, 3 2 2 2 2 (środek odcinka ). Zatem szukana prosta ma równanie

( 1) ( 3 ) 5 x+ -- − 5 y − -- = 0 / : 5 2 2 1 3 y = x+ --+ --= x + 2. 2 2

Sposób III

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru z wektorem, to piszemy najpierw równanie prostej . Można skorzystać ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty, ale my obejdziemy się bez tego wzoru. Szukamy prostej postaci y = ax+ b , na której leżą punkty o współrzędnych (− 3,4) i (2,− 1) . Podstawiając te współrzędne do równania prostej otrzymujemy układ równań

{ 4 = − 3a+ b − 1 = 2a+ b

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby zredukować ) mamy − 5 = 5a , czyli a = − 1 . Współczynnik nie jest nam potrzebny, więc go nie wyliczamy.

Symetralna odcinka jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy musi być równy 1 (bo pomnożony przez − 1 ma dawać − 1 ). Zatem symetralna ta ma postać y = x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne środka odcinka , czyli punktu ( −3+2- 4−-1) ( 1 3) P = 2 , 2 = − 2,2 .